Mavzu: Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi

Teorema. (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo`ladi. Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz qilaylik f(x) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo`lsin. U holda ixtiyoriy n son uchun f(xn)>n ni qanoatlantiradigan xn [a;b] nuqta topiladi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (xn) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin. = [a;b] deylik. Funksiya uzluksiz bo`lganligi uchun f(x ) f( ) bo`ladi. Ikkinchi tomondan f( )>nk dan f( ) kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin. Misol. y=tgx funksiya (- ) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan. Misol. f(x)= funksiya [0;1] da aniqlangan, lekin chegaralanmagan.
Teorema. (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga yerishadi. Isbot. Teoremaning xulosasini quyidagicha aytish mumkin, ya`ni [a;b] segmentda shunday x1 va x2 nuqtalar topiladiki, f(x1)= {f(x)}, f(x2)= {f(x)} bo`ladi (ya`ni f(x1) - f(x) funksiyaning [a;b] segmentdagi eng katta qiymati, f(x2) esa eng kichik qiymati). f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo`lgani uchun Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan f(x) [a;b] da chegaralangan, demak aniq yuqori va aniq quyi chegaralarga ega: {f(x)}=M , {f(x)}=m deylik. Endi [a;b] da biror x1 nuqtasi uchun f(x1)=M bo`lishini ko`rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya`ni barcha x [a;b] larda f(x)<M bo`lsin. funksiyani tuzib olaylik. (x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz, Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan u quyidan chegaralangan bo`ladi, ya`ni shunday >0 son topilib, (x)  bo`ladi. Bundan f(x)< M- bo`lib, M- f(x) funksiyaning yuqori chegarasi ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Eslatma. Teoremadagi har bir shart muxim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa uning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin. Misol. f(x)=x-[x] funksiya ixtiyoriy b 1 uchun [a;b] segmentda qiymatlar to`plami E(f)=[0;1) bo`lib, [a;b] da o`zinig yuqori chegarasiga erishmaydi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat`iy o`suvchi (qat`iy kamayuvchi) bo`lsa, bu funksiyaning qiymatlar to`plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo`lib, u uzluksiz va qat`iy o`suvchi (kat`iy kamayuvchi) bo`ladi. Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo`lgani uchun Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to`ldiradi. Shuning uchun har bir y0 Y ga mos keladigan X topilib, f( )=y0 bo`ladi. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi yagona bo`ladi. Haqiqatan, dan farqli x1 nuqta olsak, f(x) funksiya monoton bo`lib,  x1 bo`lgani uchun f( ) f(x1) bo`ladi. Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f(x)=y tenglikni qanoatlantiradigan yagona x mavjud. Demak, Y oraliqda y=f(x) funksiyaga teskari bo`lgan x=(y) funksiya mavjud. y=f(x) funksiya o`suvchi bo`lsa, x= (y) ni ham o`suvchi bo`lishini ko`rsatamiz, ya`ni y12 bo`lganda x12 tengsizlik o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik: y12 bo`lganda x1>x2 bo`lsin. U holda y=f(x) funksiya qat`iy o`suvchi bo`lganligi uchun f(x1)>f(x2), ya`ni y1>y2 bo`ladi. Bu esa y12 deb olinishga ziddir. Demak, x= (y) funksiya Y da qat`iy o`suvchi.
Ta`rif: Agar har bir >0 son uchun shunday >0 son topilib, |x`-x``|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x`,x`` X nuqtalar uchun |f(x`)-f(x``)|< tengsizlik o`rinli bo`lsa, f(x) funksiya X to`plamda tekis uzluksiz deyiladi. Ta`rifdan ko`rinadiki X to`plamda tekis uzluksiz bo`lgan funksiya shu to`plamda uzluksiz bo`ladi, aksinchasi har doim to`g`ri bo`lavermaydi. Ya`ni shunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas. Misol. f(x)= funksiya X=(0:1] da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas. Haqiqatan, =1 songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya`ni, qanday >0 son olmaylik x`,x`` sonlar topilib, |x`-x``|< bo`lib, |f(x`)-f(x``)| bo`ladi. nuqtalarni olaylik. |x`-x”|= = . n nomerni shunday tanlash mumkinki bo`ladi. Lekin |f(x`)-f(x``)|=|n-(n+1)|=1 bo`ladi. Demak, f(x)= funksiya tekis uzluksiz emas. Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo`ladi degan savol tug`iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.
Teorema. (Kantor teoremasi) Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda f(x) funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo`ladi. Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish yo`li bilan isbotlaymiz. Ya`ni [a;b] da uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya bu kesmada tekis uzluksiz bo`lmasin. Demak, biror >0 son mavjudki, >0 sonni har qancha kichik qilib olmaylik, [a;b] segmentda shunday x` va x`` nuqtalar topiladiki, |x`-x``|< bo`lsa ham |f(x`)-f(x``)| bo`ladi. Nolga intiluvchi ,…, ketma-ketlikni olamiz. n ning har bir qiymatiga mos ikkita [a;b] topiladiki, ular uchun bo`lib, bo`ladi. [a;b], demak chegaralangan. Undan Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin: . Geyne ta`rifiga binoan f( ) f( ). tengsizlikka asosan ekanligi kelib chiqadi. Bundan f( ) f( ). Bulardan ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan tengsizliklardan ning 0 ga intilmasligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Teorema isbotlandi. Ta`rif: {f(x)}- {f(x)} ayirma f(x) funksiyaning X to`plamdagi tebranishi deb ataladi va = {f(x)}- {f(x)} orqali belgilanadi. Natija. Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda ixtiyoriy >0 son uchun shunday >0 son topilib, [a;b] segmentni uzunliklari dan kichik bo`laklarga bo`linganda funksiyaning har bir bo`lakdagi tebranishi dan kichik bo`ladi.
E’tiboringiz
uchun
RAHMAT