Mavzu: Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi

MAVZU: Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi
Chegaralangan va monoton funksiyalar. Murakab va teakari funksiyalar
Reja: 1.Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.
2.Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.
3.Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema
4.Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi
5.Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda (qat`iy) monoton funksiya bo`lsa, u shu oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz bo`ladi yoki faqat birinchi tur uzilishga (sakrashga) ega bo`ladi. Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. nuqta X ning ichki nuqtasi , ya`ni nuqtaning biror ( - ; + ) atrofii X ga tegishli bo`lsin. f(x) funksiya o`suvchi bo`lgani uchun barcha x larda f(x) f( ) ya`ni funksiya yuqoridan chegaralangan. Shuning uchun u chekli f( ­- 0) f( ) limitga ega. Xuddi shu kabi chekli f( +0) limit mavjud bo`lib, f( -0) f( ) bo`ladi. Agar f( -0)=f( )=f( +0) bo`lsa, funksiya nuqtada uzluksiz bo`ladi. Aks holda f( -0)< f( +0) bo`lib, funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi bo`ladi. Monoton kamayuvchi funksiya uchun ham shu kabi isbotlanadi.
Monoton funksiya - oʻsuvchi yoki kamayuvchi funksiyalar. Berilgan funksiya biror oraliqda monoton boʻlishi uchun uning orttirmasi Af(x)=f(x+Ax)-f(x), Dx>0, oraliqda ishorasini oʻzgartirmasligi lozim. Agar Ax>0 boʻlganda D/(x) noldan qatʼiy katta yoki qatʼiy kichik boʻlsa, u holda f(x) qatʼiy monoton funksiya deyiladi. Biror oraliqda differensiyalanuvchi funksiya shu oraliqda monoton boʻlishi uchun uning hosilasi oʻzgarmas ishorani saqlashi zarur va yetarlidir.
Monoton kamayuvchi va monoton
ortib boruvchi funksiya
Teorema. (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda f(c)=0 tenglikni qanoatlantiradigan c (a<c<b) son topiladi. Isbot. f(a)>0, f(b)<0 bo`lsin, [a;b] ni teng ikki [ ] va [ ] qismga bo`lamiz. Agar f( )=0 bo`lsa, teorema isbot qilingan bo`ladi. f( )0 bo`lsin, u holda bo`lakchalarning birining uchlarida funksiya qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo`ladi. Usha kesmani [a1;b1] orqali belgilaymiz. f(a1)>0, f(a2)<0 bo`ladi. Endi [a1;b1] ni teng ikkiga bo`lamiz va yuqoridagi mulohazani [a1;b1] ga nisbatan takrorlaymiz va hakoza.
Umuman quyidagi ikki holdan biri yuz beradi:
1) biror nuqtada f(x) funksiya 0 ga teng bo`ladi, yoki 2) Barcha n uchun f( )0 bo`lib, bu jarayon cheksiz davom etadi.
Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lib, f(a)=A, f(b)=B va A<B bo`lsa, u holda A<C<B ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday c (a;b) son topilib, f(c)=C bo`ladi. Isbot. Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. (x) Bolsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) (x) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir. 2) (a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0. Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, (c)=0, yoki f(c)-C=0, ya`ni f(c)=C bo`ladi. Demak, [a;b] da uzluksiz bo`lgan funksiya o`zining ikki qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. Natija. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, uning qiymatlari biror Y oraliqni tutash to`ldiradi.