Mavzu: muavr-laplasning lokal va integral limit teoremalari. Integral limit teorema tadbiqlari
Download 0.57 Mb. Pdf ko'rish
|
7-MARUZA MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL LIMIT TEOREMALARI. INTEGRAL LIMIT TEOREMA TADBIQLARI.
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tayanch iboralar
- 1. Muavr-Laplasning lokal limit teoremasi. Teorema . A
- 2. Puasson teoremasi.
- Puasson teoremasi.
- 1. Muavr-Laplasning integral teoremasi va uning tadbiqlari.
|
YETTINCHI MA’RUZA. MAVZU: MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL LIMIT TEOREMALARI. INTEGRAL LIMIT TEOREMA TADBIQLARI. Reja: 1.
Muavr-Laplasning lokal limit teoremasi. 2.
Puasson teoremasi. 3.
Muavr-Laplasning integral limit teoremasi va uning tadbiqlari. Tayanch iboralar: Binomial ehtimol, katta sondagi tajribalar, Stirling formulasi, Laplas funksiyasi, siyrak (kam) ro‘y beruvchi hodisa. Ehtimollar nazariyasinnng tadbiqlarida
va
k larning yetarlicha katta qiymatlarida ) (k P n ehtimollarni hisoblash zaruriyati tez-tez uchrab turadi. U holda ) (k P n ehtimolni Bernulli formulasidan foydalanib hisoblash katta qiyinchiliklarga olib keladi. Agar biz quyidagi masalani yechmoqchi bo‘lsak yanada ko‘proq qiyinchiliklarga duch kelamiz: kuzatilayotgan hodisaning kamida 1
marta va ko‘pi bilan 2
marta ro‘y berish ehtimolini hisoblaylik. Bu holda ) ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) ( 2 1 1 1 k P k P k P k P n n n
yig‘indini hisoblash lozim bo‘lali. Bu yanada murakkab ekani ko‘rinib turibdi. Shunga qaramasdan, bunday masalalar ehtimollar nazariyasining tadbiqlarida tez- tez uchrab turadi. Shu sababli k ning katta qiymatlarida ) (k P n , shuningdek,
1 ) ( k k k n k P
yig‘indi uchun ham eng sodda taqribiy formulalar qidirish zaruriyati tug‘ildi. Bunday formulalar limit teoremalar deb ataluvchi uchta teoremadan kelib chiqadi. 1. Muavr-Laplasning lokal limit teoremasi. Teorema. Agar n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribalarning har birida biror A hodisaning ro‘y bershi ehtimoli ) 1 0 ( p p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda k ning ushbu c npq np k x k / ) (
)) 1 ( 1 ( 2 1 ) ( 2 2
O e npq k P x n
tenglik bajariladi. Isbot. Teoremani matematik tahlil kursidan ma’lum bo‘lgan ushbu ) ( 12 1 , 2 ! n n e e n n n n n n n
Stirling formulasadan foydalanib isbotlaymiz. Avvalo, teoremaning shartidan k n k , munosabatlarning kelib chiqishini tekshiramiz. npq np k x k / ) ( Belgilashdan npq x nq k n npq x np k k k , ( ' )
yoki n pq x q n k n n pq x p n k k k ,
tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan ko‘rinadiki, n da va
c x k shart bajarilganda k va
k n lar cheksizlikka intiladi. Bu ) (k P n ehtimolni baholash uchun Stirling formulasidan foydalanish mumkinligini ta’minlaydi. U holda
) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 )! ( ! ! ) ( ) ( (2) tenglikni hosil qilamiz. Endi teorema shartlari bajarilganda (2) formulaning o‘ng tomoniga kiruvchi
k n k k n k n np k np k n k n T б e k k n n ) ( ) ( ) ( , ,
ifodalar qanday o‘zgarishini qarab chiqamiz. (1) ifodadagi munosabatlardan ushbu tengsizlik o‘rinli bo‘ladi: n pq x q n pq x p n k k k k n n k k n n 1 1 1 12 1 (3) Bunday ko‘rinadiki, c x k bo‘lgani uchun
da 1
k k n n e .
Natijada (3) ga asosan etarlicha katta p lar uchun ) 1 ( 0 1 ) 1 ( n e e n n k k n n
ifodani hosil qilamiz. Endi k n k k n k n np k np T ) ( ) ( , ning ikkala tomonini logarifmlab, ) 1
) ( ) 1 ln(
ln ) ( ln ln , nq p x k n np q x k np k n k n np k k T k k k n tenglikni hosil qilamiz. ) 1
t funksiyaning Teylor formulasiga yoyilmasidan ) 0 ( ), ( 0 2 1 ) 1 ln(
3 2 t t t t t (5) kelib chiqadi. Teorema shartiga asosan
va
nq p x k miqdorlar n ning etarlicha katta qiymatlarida istalgancha kichik bo‘ladi. Shu sababli ) 1 ln( np q x k va ) 1 ln( nq p x k
ifodalarning (5) munosabat bo‘yicha yoyilmasi dan
) 1 ( 0 2 1 ) 1 ln( ), 1 ( 0 2 1 ) 1 ln( 2 3 2 2 3 2 n nq px nq p x nq p x n np qx np q x np q x k k k k k k
tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklarga asosan ( 1 ) dan k va
k n larning kiymatlarini o‘rniga qo‘yib, k n T , ln uchun ) 1 ( 0 2 1 ) 1 ( 0 2 1 ) 1 ( 0 ) ( ) ( 2 1 ) 1 ( 0 2 1 ) 1 ( 0 2 1 0 ) 1 ( 0 2 1 ) ( ) 1 ( 0 2 1 ) ( ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 , n x n x x n x q p x q p n p x qx npq x n q x px npq x n nq px qn p x npq x np n np qx pn q x npq x np T k k k k k k k k k k k k k k k k k k n ifodani hosil qilamiz. Bu yerdan )) 1 ( 0 1 ( 2 ) 1 ( 0 2 ) 1 ( 0 2 , 2 2 2 n e e e e T k k k x n x n x k n (6) ekanligi kelib chikadn. Ishonch hosil qilish mumkinki, ) 1
0 1 ) 1 ( 0 1 1
n . Shuning uchun (1) formulaga asosan )) 1 ( 0 1 ( 1 )) 1 ( 0 1 ))( 1 ( 0 1 ( 1 1 ) ( n npq n n npq k n n k n n k n k n (7) munosabat kelib chiqadi.Hosil qilingan (4), (6), (7) tengliklarni (2) tenglikka qo‘yib, ) (k P n ehtimol uchun ) 1
0 1 ( 2 1 ) ( 2 2 n e npq k P k x n
munosabatni hosil qilamiz. Shunday qilib, yetarlicha katta p lar uchun 2 2 2 1 ) ( ), ( 1 ) ( x k k n e x x npq k P
munosabatga ega bo‘lamiz. ) (x funksiyaning x argumentining musbat qiymatlari uchun tuzilgan qiymatlar jadvali mavjud. ) (x funksiyaning juftligi sababli bu jadvaldan argumentning manfiy qiymatlari uchun ham foydalaniladi.
1-punktda ) (k P n ehtimol uchun hosil qilingan asimptotik formula n o‘zgarmaganda p son (hodisaning har bir tajribada ro‘y berish ehtimoli) yarimga qancha yaqin bo‘lsa, shuncha yaxshi natija beradi. Biroq ancha kichik
larda
(ya’ni, kam ro‘y beruvchi hodisalar qaralayotganda) bu formula beradigan xato sezilarli darajada bo‘ladi. Bu holda, ya’ni p nolga yaqin bo‘lganda, ) (k P n uchun
boshqa asimptotik formula topish zaruriyati paydo bo‘ladi. Bu masalani hal qilish uchun quyidagi hodisalar seriyasini qaraymiz: nn n n E E E E E E E E E ,...,
, ......... .......... , , , 2 1 33 23 13 22 12 11 Qaralayotgan har bir seriyadagi hodisalar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasdan, n - seriyada har birining ro‘y berish ehtimoli n p , ro‘y bermaslik ehtimoli n n p q 1 bo‘lsin, bunda n - seriya nomeri. n -seriyadagi n ta hodisadan k tasining ro‘y bernsh ehtimolini ) (k P n deb belgilaymiz. Puasson teoremasi. Agar n da 0 n p munosabat bajarilib, 0 , n np bo‘lsa, u holda e k P q p C k P k n k n n k n k n n ! ) ( ) ( munosabat o‘rinli bo‘ladi. Isbot. n np 0 deb belgilaymiz va ) (k P n ehtimolni ushbu ko‘rinishda yozamiz:
) 1 ( ) ( )! ( ! ! ) ( yoki algebraik almashtirishlardan so‘ng k n n n n n n n n k n n k k P ) 1 ( ) 1 )( 1 1 )...( 2 1 )( 1 1 ( 1 ! ) ( . Endi
k o‘zgarmas bo‘lib,
da ) (k P n iing limitini topamiz: ) 1
)...( 2 1 )( 1 1 ( n k n n va k n n ) 1 ( ko‘paytuvchilarning limitlaribirga teng bo‘lib,
n n n ) 1 ( lim
ln bo‘lganlign sababli
e k k P k n n ! ) ( lim
kelib chaqadi. 1. Muavr-Laplasning integral teoremasi va uning tadbiqlari.
) (k P n ehtimolarni emas, balki ) (
, ( 2 1 2 1 k k k P k k P n n
ehtimolni baholash imkonini beradi. Teorema. Agar har bir tajribada biror A hodisaning ro‘y berish ehtimoli ) 1 0 ( p p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda n da 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( ) , (
k k b a x k n k k n n n dx e q p C k k k P k k P
munosabat a va b ) , (
a larga nisbatan tekis bajariladi, bu yerda npq np k b npq np k a 2 1 ,
Bu teoremaning isbotiga hozircha to‘xtalib o‘tirmaymiz. Muavr-Laplasning integral teoremasini qo‘llash bilan yechiladigan masalalarda
b a x dx e x Ф 2 2 2 1 ) (
integralni hisoblashga to‘g‘ri keladi. Bu integral uchun maxsus jadval mavjud. 2- ilovadagi jadvalda (x)
funksiyaning musbat x larga mos qiymatlari keltirilgan. (x)
funksiyaning 0
bo‘lgan holda qiymatlari uning toqligadan foydalanib topiladi. Jadvalda funksiyaning 5
0
agar . x>5bo‘lsa, u holda 5 ,
) x ( Ф deb olinadi. Jadvaldan foydalanish oson bo‘lishi uchun quyidagi formuladan foydalanish qulaydir: (b)
) ( 2 1 2 2 Ф a Ф dx e b a x . Har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoln p ga teng bo‘lgan p ta bog‘liq bo‘lmagan tajribalar o‘tkazilayotgan bo‘lsin. 1. A hodisa ro‘y berishlar sonining nisbiy chastotasi n m ning
p ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha dan oshmaslik ehtimolini topish so‘raladi. Bu ehtimol ) ( 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 2 2 2 2 pq n a Ф dx e dx e np n m np n P n np m n P p n m P pq n a x pq n a pq n a x 2.Ahodisaning nnsbiy chastotasi bilan uning p ehtimol orasidagi ayirma absolyut qiymat jihatidan dan oshmaslik ehtimoli dan kichik bo‘lmasligi uchun eng kamida nechta tajriba o‘tkazish kerak, ya’ni ) (
n m P (8) tengsizlikni qanoatlantiradigan
iing minimal qiymatini topishimiz kerak. Bu sonni topish uchun (8) ifodaning chap tomonini Muavr-Laplas teoremasiga ko‘ra uning taqribiy qiymati bilan almashtiramiz :
) ( 2 pq p Ф Bu tengsizlikdan ning izlanayotgan minimal qiymati topiladi. 3. ehtimol va tajribalar soni p berilganda p n m
ning mumkin bo‘lgan o‘zgarish chegarasini aniqlash talab etiladi. Boshqacha qilib aytganda, n va
ni bilgan holda
) ( p n m P
bo‘ladigan ni topish kerak. Integral teoremani qo‘llab, ni topish tenglamasini hosil qilamiz: ) ( 2 pq p Ф yoki
2 ) ( pq p Ф Qaralayotgan masalalarda son echimini topish bizdan
x u du e x Ф 0 2 2 1 ) (
integralning qiymatini x ning har qanday qiymati uchun hisoblash va aksincha F(x) funksiyannng berilgan qiymati bo‘yicha mos argument qiymatini hisoblash talab qiladi. Bunday hisoblar uchun maxsus jadval talab qilinadi. Bunlay jadvallar tuzilgan va mazkur qo‘llanmaning oxirida bor. Jadval F(x) funksiyaning x>0 dagi qiymatlari uchun tuzilgan, x<0 uchun esa funksiyaning qiymatlari ) ( ) (
Ф х Ф
tenglikdan foydalanib topiladi. Mustaqil o‘rganish uchun savollar. 1.
Asimptotik formulalar qanday maqsadlarga xizmat qiladi? 2.
Muavr-Laplasning lokal teoremasini ta’riflang? Bu teoremaning vazifasi nimadan nborat? 3. Puasson teoremasini ta’riflang. Bu teoremaniig vazifasi nimadan iborat? 4. Muavr-Laplasning interal limit teoremasi qanday ahamiyatga ega? U qanday masalalarga tadbiq qilinadi? , 5. Lokal va integral teoremalar tadbiq qilinadigan masalalar orasidagi farq nimadan iborat? Download 0.57 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|