Mavzu: Mulohaza va ular ustida amallar Reja

4-m i s o l. va formulalar teng kuchli formulalardir.

x
0	0
1	1

2-jadval

Haqiqatan ham, berilgan formulalardan faqat bitta elementar mulohaza ishtirok etgani uchun ikkita qiymatlar satriga ega chinlik jadvalini tuzamiz. (1.2.2-jadvalga qarang). 1.2.2-ta’rifga asosan .

x	y
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

5- misol. Berilgan va formulalarni mos ravishda
.3-jadval
A va B bilan belgilaymiz: , . 1.2.3-chinlik jadvalidan ko’rinib turibdiki, A va B formulalar tarkibidagi x va y elementar mulohazalarning to’rtala qiymatlar satrlari uchun bu formulalarning mos qiymatlari bir xil. Demak, 1.2.2-ta’rifga asosan ya’ni, .
6-misol. va formulalar berilgan bo’lsin 4-chinlik jadvalini tuzamiz. A va B formulalar tarkibida ishtirok etuvchi x va y elementar mulohazalarning to’rtala qiymatlar satrlari uchun bu formulalarning mos qiymatlari bir xil.
Demak, berilgan A va B formulalar ekvivalent formulalardir, ya’ni . .4-jadval

x	B=y
0	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	0	1	1

7-misol. formulalar teng kuchlimas formulalardir. Haqiqatan ham, 5-chinlik jadvalidan ko’rinib turibdiki, berilgan A va B formulalar tarkibida ishtirok etuvchi x va y elementar mulohazalarning to’rtta qiymatlar satrlaridan ikkitasi (2-va 3- satrlari) uchun bu formulalarning mos qiymatlri har xil. Demak, 3-ta’rifga asosan, berilgan va x formulalar ekvivalentmas formulalardir ya’ni, .
5-jadval

	y
0	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	0	1	1

Odatda, mulohazalar algebrasida ekvivalensiya bilan teng kuchlilik orasidagi farqni anglash maqsadida, ular oddiy algebradagi mos ravishda tenglama va ayniyat bilan qiyoslanadi. Tenglamada (masalan, x va y o’zgaruvchilarga nisbatan 2x+y=10 tenglamada) o’zgaruvchilarning ayrim (masalan,x=4,y=2) qiymatlar uchun tenglik o’rinli bo’lib, boshqa (masalan, x=1,y=2) qiymatlar uchun bu tenglik o’rinli bo’lmasligi mumkin. Shunga o’xshash, ekvivalensiyada ishtirok etuvchi (masalan,

Ekvivalensiyadagi ) o’zgaruvchilarining o’rinlariga qandaydir (masalan ) qiymatlar qo’yganda ekvivalensiya ch qiymat qabul qilib, boshqa (masalan, ) qiymatlar uchun yo qiymatga erishishi mumkin.
Oddiy algebrada ayniyat deb shunday tenglik tushuniladiki (masalan, tenglik),bu tenglik, unda qatnashgan barcha o’zgaruvchilarning mumkin bo’lgan barcha qiymatlar uchun o’rinlidir. Shunga o’xshash, matematik mantiqdagi teng kuchlilik shunday mulohazaki (masalan, mulohaza) bu mulohaza, unda qatnashgan barcha o’zgruvchilarning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari uchun to’g’ridir.
Matematik mantiqda formula tushunchasi bilan bir qatorda mantqiy ifoda tushunchasi ham qo’llaniladi. Mantiqiy ifoda shunday murakkab mulohazaki, uning tarkibida berilgan elementar mulohazalarda inkor, diz’yunksiya, kon’yunksiya, implikatsiya, ekvivalensiya mantiqiy amallari ham chekli kombinatsiyasi va zarur bo’lganda, mulohazalar ustida mantiqiy amallari bilan bir qatorda mulohazalar algebrasidagi boshqa amallarning ham chekli kombinatsiyasi va, zarur bo’lganda, mulohazalar ustida mantiqiy amallarning bajarilish tartibini ko’rsatuvchi qavslar qatnashishi mumkin. Mantiqiy ifoda tushunchasiga ham formula tushunchasiga matematik induksiya usuliga tayangan holda berilgan ta’rifga o’xshash qat’iy ta’rif berilishi mumkin. Mantiqiy ifodalarning teng kuchliligi tushunchasini ham formulalar teng kuchliligi tushunchasiga o’xshash aniqlash mumkin.
Oddiy algebrada aynan teng qiymatga qiymatga ega ifodalarni bir-biri bilanalmashtirish mumkin bo’lganidek, mulohazalar algebrasida ham mantiqiy ifoda tarkibidagi qismiy mantiqiy ifodalarni (formulalarni, mulohazalarni) ularga teg kuchli bo’lgan ifodalar (formulalar, mulohazalar) bilan almashtirish ya’ni o’rniga qo’yish usulidan foydalanish mumkin. Bu esa murakkab ifodalarni (formulalarni, mulohazalarni) sddalashtirish imkonini beradi.
Yuqorida tenglama bilan ekvivalensiya va ayniyat bilan teng kuchilik orasida o’xshashlik borligini ko’rdik. Endi tenglik bilan ekvivallensiya orasida farq ham borligini ko’rsatamiz. Ma’lumki, oddiy algebrada hech qanday almashtirish yordamida tenglik arifmetik amallar (qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish) vositasida ifodalab bo’lmaydi. Mulohazalar algebrasida esa ekvivalensiyani boshqa mantiqiy amallar vositasida ifodalash mumkin. Masalan ekvivalensiyani implikatsiya va kon’yunksiya amallari vositasida ifodalash mumkin: berilgan x va y elementar mulohazalar uchun teng kuchlilik o’rinliligi 6-chinlik jadvalidan ham ko’rinib turibdi.
6-jadval

x	y
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

Mulohazalar algebrasini oddiy algebra bilan qiyoslashda davom etib, oddiy algebrada tenglik uchun quyidagi xossalar (aksiomalar) o’rinliligini eslatamiz:

1. 
   Ixtiyoriy uchun a=a (refleksiv);
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita va sonlar uchun agar a=b bo’la, u hold b=a bo’ladi (simmetriklik);
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta , va sonlar uchun agar a=b va b=c bo’lsa, u holda a=c bo’ladi (tranzitivlik);
   

Shunga o’xshash mulohazalar algebrasidagi teng kuchlilik (ekvivalentlik) ham refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega:

1. 
   Ixtiyoriy x mulohaza uchun ;
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita x va y mulohazalar uchun, agar bo’lsa, u holda bo’ladi;
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta x,y va z mulohazalar uchun va bo’lsa, u holda bo’ladi.