Mavzu: Munosabat tushunchasi

Binar munosabatlar 3 xil usulda beriladi:
1. Juftliklarning (sanab o’tilgan) ro’yhati.
2. Matritsa (jadval) orqali.
3. Grafik – struktura ko’rinishida.

Munosabatlar superpozitsiyasi.
Tа’rif. P  A B va Q  BC binar munosabatlar uchun P o Q  AC predikat quyidagicha aniqlangan bo`lsin: P o Qx,z 1 shart bilan aniqlangan ixtiyoriy x  A, z C uchun shunday y  B topiladiki, Px, y 1, Qy,z 1 o`rinli bo`ladi. P o Q ga P va Q munosabatlarning superpozitsiyasi deyiladi.
Demak , P o Q {(x,z):xA, zC va  yB (x, z)P va (y,z)Q}
Misol 1. A ={1,2,3}, B={a, b, c} va C={x, y, z} to`plamlar berilgan bo`lsin. P  A  B={(1;a);(1:c);(2;b);(2;c);(3;a)}; Q  B  C={(a; x);(a; y);(b; y);(b; z);(c; x);(c; z)}; P o Q A  C\{(3;z)}={(1;x);(1;y);(1;z);(2;x);(2;y);(2;z);(3;x);(3;y)}
Misol 2. A ={a, b, c, d} to`plam berilgan bo`lsin.
P  A  A ={(a; a);(a; b);(a; d);(c; a);(c; b);(d; a)}, u holda teskari munosabat P<sup>-1</sup> ={(a; a);(b; a);(d; a);(a; c);(b; c);(a; d)} bo`ladi. Quyidagilarni hisoblaymiz: P P^-1 , P o P^-1 , P^-1 o P: а) P  P^-1 = {(a; a);(a; d);(d; a)}; b) P o P^-1={(a; a);(a; c);(a; d);(c; a);(c; c);(c; d);(d; a);(d; c);(d; d)}; v) P^-1 o P ={(a; a);(a; b);(a; d);(b; a);(b; b);(b; d);(d; a);(d; b);(d;d)}. Bundan ko`rinadiki, P o P<sup>-1</sup>  P<sup>-1</sup> o P , ya`ni superpozitsiya amali kommutativ emas.
Teоremа 1. P  A  B munosabat uchun quyidagilar o`rinli
а) I<sub>A</sub> o P  P ;
b) P o I<sub>B</sub>  P .
Isboti: a) x; y  I<sub>A</sub> o P ni olib qaraylik, uning uchun shunday z  B topiladiki,  x;z   I<sub>A</sub> va z; y P . Biroq x ; z I<sub>A</sub> dan x=z kelib chiqadi, demak x; y P , u holda I<sub>A</sub> oP  P.
Endi x; y P bo`lgan holni qaraymiz, bu holda  x; x   I_A va x; y P hosil bo`ladi. Ya`ni shunday z z  x topiladiki, uning uchun  x; z  I_A va z; y P bo`ladi, demak x; y I<sub>A</sub> o P .
Teоremа 2. P  A  B va Q  B  C binar munosabatlar uchun
(P Q<sup>-1</sup> =Q<sup>-1</sup>  P<sup>-1</sup> tenglik o`rinli .
Isboti:  z ; x   (PQ)^-1 ( x; z)  P o Q  uchun shunday y  B element topiladiki, uning uchun x; y P va y;zQ (y ; x)  P^-1 va (z; y) Q^-1  (z; x) Q^-1 o P^-1 bo`ladi.
Teоremа 3. P  AB, Q  BC, R  C D binary munosabatlar uchun P o Q o R  P o Q o R superpozitsiyaning assotsiativligi o`rinli.
Isboti: x;tP o Q o R uchun shunday z C element topiladiki, uning uchun x;zP o Q o R va shunday y B element topiladiki, uning uchun x; y P, y;zQ va z;tR munosabatlar o`rinli. Ularning superpozitsiyasini hisoblab, x; y P va y;tQ oR dan x;tP oQ oR ga kelamiz. Demak, PoQ oR  PoQoR.