Mavzu: Natural sonlar to'plamiga akslantirish prinsipi. 922-22 -gurh Talabasi Qobulo’v Anniyozbek

Mavzu: Natural sonlar to'plamiga akslantirish prinsipi.

922-22 –gurh Talabasi Qobulo’v Anniyozbek

Kirish
To‘plamlar ustida amallar
Matematikada juda xilma-xil to‘plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar
to‘plami, tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plami, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar
to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan
bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. «To‘plam»
so‘zining sinonimlari sifatida
«ob’ektlar majmuasi»
yoki
«elementlar majmuasi»
so‘z birikmalaridan
foydalaniladi.
To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o‘ringa
ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan cheklanamiz.
To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A,B,L, ularning elementlarini
esa kichik - a,b,L harflar bilan belgilaymiz. «a element A to‘plamga tegishli»
iborasi «a∈ A» shaklda yoziladi. «
A
a∈
/ » yozuv esa a element A to‘plamga
tegishli emasligini bildiradi. Agar A to‘plamning barcha elementlari B
to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning qismi deb
ataladi va A ⊂ B ko‘rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to‘plami haqiqiy
sonlar to‘plamining qismi bo‘ladi. Agar A va B to‘plamlar bir xil elementlardan
tashkil topgan bo‘lsa, u holda ular teng to‘plamlar deyiladi va A = B shaklda
belgilanadi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B va B ⊂ A
munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi ([1] ga qarang). Ba’zida birorta ham
elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan,
x2 +1= 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni
qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun
maxsus
«bo‘sh to‘plam»
nomi berilgan va uni belgalashda Ш simvoldan
foydalaniladi. Ma’lumki, har qanday to‘plam bo‘sh to‘plamni o‘zida saqlaydi va
har qanday to‘plam o‘zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To‘plamlarning
bo‘sh to‘plamdan va o‘zidan farqli barcha qism to‘plamlari xos qism to‘plamlar
deb ataladi.
1.1. To‘plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy tabiatli A va B to‘plamlar
berilgan bo‘lsin. Agar C to‘plam faqatgina A va B to‘plamlarning elementlaridan
iborat bo‘lsa, u holda C to‘plam A va B to‘plamlarning yig‘indisi
yoki
birlashmasi deyiladi va C = AU B shaklda belgilanadi (1.1-chizmaga qarang).
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aa to‘plamlarning yig‘indisi ham
shunga o‘xshash aniqlanadi: Aa to‘plamlarning kamida biriga tegishli bo‘lgan
barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning yig‘indisi deyiladi va bu munosabat
a −
a
U A shaklda belgilanadi.
Endi A va B to‘plamlar kesishmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlarning
umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning kesishmasi deyiladi (1.2-
chizmaga qarang) va AI B shaklda belgilanadi.

Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi

−IaAa
deb Aa to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi.

To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra kommutativ va
assotsiativdir, ya’ni
AUB=BUA (AUB)UC=AU(BUC)

AIB=BIA (AIB)IC=AI(BIC)

Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan
(AUB)IC=(AIC)U(BIC) (1.1 )

(AI B) UC = (AU C) I (B U C) (1.2)

Akslantirishlar. To‘plamlarni sinflarga ajratish

Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik

analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror
to‘plam bo‘lsin. Agar har bir x∈ X songa f qoida bo‘yicha aniq bir y = f (x) son

mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda f funksiya aniqlangan deyiladi.

Bunda X to‘plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul
qiladigan barcha qiymatlardan tashkil bo‘lgan E( f ) to‘plam f funksiyaning
qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni E( f ) = {y : y = f (x), x ∈ X}.
. Agar biror X to’plamning har bir x elementiga qandaydir qonuniyat bo’yicha yagona f (x) ob’yekt mos qo’yilgan bo’lsa, bu f moslik funktsiya deyiladi. B munosabat funktsiya yoki ATа’rif 2. f A to‘plamdan B to‘plamga akslantirish deyiladi, agarda quyidagi shartlar bajarilsa: 1) Dl A , Dr( f ) B,( f ) 2) f(x, y ) 1 , (x, y ) f ekanligidan2 1 2 yy ekanligi kelib chiqsa.
Funktsiya B yokif :A fA B kabi belgilanadi, agar f(x, y) bo‘lsa, u holda f (x)y kabi yoziladi va f funktsiya x elementga y elementni mos qo‘yadi deb gapiriladi. By Aelementga x elementning tasviri, x elementga y ning asli deyiladi. Agar Dl A bolsa,( f ) f funktsiya qismiy funktsiya deyiladi.

Malumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar tarifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi. To’plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to’plamning o’zidir. To’plam biror obyektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu obyektlar ixtiyoriy tabiatli bo’lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to’plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va bazi cheklovlar qo’yish mumkin. Masalan, obyektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin:

1) sinflar; 2) to’plamlar, yani boshqa bir sinfning elementi bo’lgan sinflarlar. To’plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan, “oldin” munosabati qadamni tartiblaydi.

Har bir to’plam malum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo’ladi.

Bunday tizim nemis matematigi Ernst Fridrix Ferdinand Sermelo (1871- 1953 yy) tomonidan 1908 yilda ishlab chiqildi va isroillik matematik Abraxam Adolf Frenkel (1891-1965 yil) tomonidan kengaytirildi.

Hozirda Sermelo – Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi.

ZF tizimi quyidagi aksiomalardan iborat: 1 0 . Hajm aksiomasi: To’plam o’zining elementlari bilan to’liq aniqlanadi.
Agar sonli to‘plamlar o‘rnida ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda funksiya
tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Bizga
ixtiyoriy X va Y to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar har bir x∈ X elementga biror
f qoida bo‘yicha Y to‘plamdan yagona y element mos qo‘yilsa, u holda X
to‘plamda aniqlangan Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish
berilgan deyiladi. Bundan keyin ixtiyoriy tabiatli to‘plamlar bilan ish ko‘ramiz
(shu jumladan sonli to‘plamlar bilan ham), shuning uchun ko‘pgina hollarda
funksiya termini o‘rniga akslantirish atamasini ishlatamiz.
X to‘plamda aniqlangan va Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f
akslantirish uchun f : X →Y belgilashdan foydalaniladi. Biz asosan quyidagi
belgilashlardan foydalanamiz. N− natural sonlar to‘plami, Z− butun sonlar
to‘plami, Q− ratsional sonlar to‘plami, R− haqiqiy sonlar to‘plami. R+ = [0,∞),
Z+ = {0}U N hamda Rn
sifatida n− o‘chamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi.
Endi f : X →Y akslantirishga misollar keltiramiz.
2.1. f : R → R, f (x) = x 2 .
2.2. g : R → R, g(x) = [x]. Bu yerda [x] belgi x sonining butun qismi.
2.3. Dirixle funksiyasi D : R → R,
{1.agar x€Q
D(x)=
{0.agar x€R/Q.
2.4. Riman funksiyasi R : R → R,

2.5. Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi P : R2 → R, P(x, y) = x.

2.6. Sferik akslantirish S : R3 → R, S(x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 .
Yuqorida, 2.1-2.6 misollarda keltirilgan akslantirishlarning qiymatlar
sohalarini toping.
Yechish. 2.1-misolda keltirilgan f : R → R akslantirishlarning qiymatlar
sohasi E( f ) = [0,∞) dan iborat. Chunki barcha x∈ R lar uchun x 2 ≥ 0 va
ixtiyoriy y∈[0,∞) uchun f ( y ) = y tenglik o‘rinli.
2.2-misolda keltirilgan g : R → R, g(x) = [x] akslantirishlarning qiymatlar
sohasi, aniqlanishiga ko‘ra E(g) = Z dan iborat.
Dirixle funksiyasi D: R → R ning qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko‘ra
E(D) = {0;1} ikki nuqtali to‘plamdan iborat.
. 2.1 va 2.2 akslantirishlarda A = [0;3) to‘plamning tasviri va B = (1;4)
to‘plamning aslini toping.
Yechish. f akslantirish [0;∞) da o‘suvchi va uzluksiz funksiya bo‘lganligi
uchun f ([0;3)) = [0;9) bo‘ladi. g([0;3)) esa [0;3) dagi butun sonlardan, ya’ni
g([0;3)) = {0;1;2} dan iborat. Endi B = (1;4) to‘plamning aslini topamiz:
f −1(B) = (−2;−1)U (1;2), g −1 (B) = [2;4).
2.8. 2.3 va 2.4 akslantirishlarda A = R \ Q to‘plamning tasviri va B = (1;∞)
to‘plamning aslini toping.
Yechish. D va R akslantirishlar R \ Q to‘plamning barcha elementlariga
nolni mos qo‘yadi, shuning uchun D(R \ Q) = R(R \ Q) = {0}. Dirixle va Riman
funksiyalarining 1 dan katta qiymatlari mavjud emas, shuning uchun
.
D−1 (B) = R−1 (B) = Ш
Quyidagi tushunchalarni kiritamiz.
Aniqlanish sohasi X
bo‘lgan
f : X →Y akslantirishda f (X ) = Y tenglik bajarilsa, f akslantirish X
to‘plamni Y to‘plamning ustiga yoki syuryektiv akslantirish deyiladi. Umumiy
holda, ya’ni f (X ) ⊂ Y bo‘lsa, u holda f akslantirish X to‘plamni Y to‘plamning
ichiga akslantiradi deyiladi.
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi
−IaAa
deb Aa to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi.
To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra kommutativ va
assotsiativdir, ya’ni
AUB=BUA (AUB)UC=AU(BUC)
AIB=BIA (AIB)IC=AI(BIC)
Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan
(AUB)IC=(AIC)U(BIC) (1.1 )
(AI B) UC = (AU C) I (B U C) (1.2)
Akslantirishlar. To‘plamlarni sinflarga ajratish
Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik
analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror
to‘plam bo‘lsin.
QISQARTIRIB AKSLANTIRISH PRINSIPI VA UNING TADBIQLARI

Haqiqiy sonlar orasidagi masofa tushunchasini umumlashtirish natijasida zamonaviy matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri bo'lgan metrik fazo tushunchasi fransuz matematigi M.Freshe tomonidan 1956-yilda kiritilgan. quyida biz metrik fazodagi asosiy tushunchalar bilan tanishamiz. Ta'rif: X to'plamning har bir x va y elementlari juftligiga namunaviy p(x,y)

haqiqiy soni mos qo'yilgan ,quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, u holda p(x, y)

funksiyaga metrika deyiladi.

1. p(x, y )> 0, p(x, y )= 0 x = y

2. p(x y ) = p{y, x )

3. p(x,y)

{X,p) juftligiga metrik fazo deyiladi.Haqiqiy sonlar o'qida х va у sonlar orasidagi masofani p(x,y)=\x — y\ ko'rinishida aniqlasak u holda p(x,y) nierrika bo'ladi

Ta'rif: Agar metric fazoning ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik shu fazoga

SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7

3(6), June, 2023

Tegishli limitga ega bo'lsa,u holda u to'la metrik fazo deb ataladi.Haqiqiy sonlar to'plami to'la metrik fazoga misol bo'ladi.

A akslantirishX metrik fazoni o'ziga o'tkazsin A:X X

Agar Ax0 = x0 tenglik o'rinli bo'lsa ,u holda x0 nuqta A akslantirishning

qo'zg'almas nuqtasi deb ataladi.

Masalan: R da aniqlangan f(x) = x akslantirishning barcha nuqtalari qo'zg'almas nuqtadan iborat f{x) = x2 funksiyada esa 0 va 1 nuqtalar

qo'zg'almas nuqtalar bo'ladi. f(x) = sfx ning qo'zg'almas nuqtalari 0 va 1 /(x) = ln(l + x) funksiyax0 = 0 qo'zg'almas nuqtagaega. Ta'rif: {X, p) metrik fazo va A\X-> X akslantirish bo'lsin.Agar shunday a, 0 < a < 1 soni mavjud bo'lib , Vx,y EX nuqtalar uchun

Munosabat bajarilsa ,u holda A akslantirishni qisqartirib akslantirish deyiladi. TEOREMA: (Qisqartirib akslantirish prinspi) to'la metrik fazoning har bir ,4 qisqartirib akslantirishi yagona qo'zg'almas nuqtaga ega. Qisqartirib akslantirish prinspi va uning tadbiqlarini talabalarga tushunarli qilib yetkazish ,ularni turli xil masalalarga tadbiq qilish

1-misol Cn da metrikap(z,w) = zk ~wk)2 kabi kiritiladi.

Az = ... z = (z1,z2,... ,zn) akslantirish qisqartirib

akslantirish bo'ladimi?

2-misol R da f(x) = x — arctgx qisqartirib akslantirish bo'ladimi? \f(x) — f(y)\ < - y| bo'lsin, u holda y = x + 1 deb olsak, u holda

ekan.

x -» +oo da arct(x + !)->-, arctx - demak a > 1 bo'ladi.

2 2

Demak ,bu qisqartirib akslantirish emas. 3-misol yarim interval da f(x ) = ^ Inx funksiyani qaraylik Vx1 G [1; oo) ,x2 G [1; oo) nuqtalari uchun

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7

/Ui) -/U-2) = f'idi A"! - a2 ) - - Ax - a2 tengsizlik o'rinlidir.(Bu yerdaC E {Xlt X2)) Ammo bu funksiya qo'zg'almas nuqtaga ega emas.Chunki f{x) = ^ Inx akslantirish nurni ga emas ,balki[0; oo] ga akslantiradi.

5-misol xn+1 = j(xn + y) bo'lsin,bu yerda x0 = 2 {xn} ketma ketlik

yaqinlashuvchi ekanini isbotlang .

Ketma-ketlikning har bir hadi musbat bo'lgani uchun

tengsizlik o'rinli.Bu esa ketma

ketlikning quyidan chegaralanganligini bildiradi./(t) = ^ (t +

p(fWJ(y)) = l/0)-/(y)l

l l

x H---y —

x y

x -y

xy

<

ekanini topamiz .Demak qisqartiruvchi ekan.

Masala:Agar/(x) funksiya haqiqiy sonlar o'qida uzluksiz,diferensiallanchi bo'lib,ushbu 0 < c < f'(x) < d < co sharti o'rinli bo'lsa, u holda / ( .v i = 0 tenglama yagona yechimga egaligini isbotlang.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7

Yechimi :/lx = x —- f(x) akslantirishning sonlar o'qining o'ziga qisqartirib

o'tkazishini ko'rsataylik: Vx,y G R, x < y uchun

Demak, |/lx - Ay\

<

l-c-d

\x~y I

0 <

d

< 1 bo'lganligidan y = Ax qisqartirib akslantirish bo'ladi.U

holda

.v.; - - /(AV: ) = Ai;: tenglikni ,yani

/(*„) = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi /(A.yi funksiya

yagona x0 nuqta mavjuddir. TEOREMA1 : Aytaylik,

sohada x bo'yicha uzluksiz va y bo'yicha musbat chegaralangan xosilaga ega bo'lsin: 0 < m < fy' < M

U holda , /(x,y) = 0 tenglama [a,ii] kesmada yagona uzluksiz yechimga

Yechimi: C[a,b] fazoni o'z -o'ziga o'tkazuvchi Ay = y — ^/(x,y)

akslantirishni qaraymiz.Bu akslantirish qisqartirib akslantirish ekanini ko'rsatamiz.

Agar y1 va y2 funksiyalar C [a, fazoning elementlari bo'lsa, u holda

1 1

Uyi - Ay-i I =

yi -^fW.yù-yi -^№2^2)

Demak,qisqartirib akslantirish prinspidan Vy0 G C[a,b] uchun

yL = Ay0 ,y2 = Aylt... ketmaketlikyaqinlashuvchi bo'ladi va lim yn = y

funksiya f{x,y) = 0 funksiyaning yagona yechimi bo'ladi.

Masalan: f(x) = ln(x + 1) funksiya [0; oo] da uzluksiz diferensiallanuvchi va

holda

< 1 demak ln(x + 1) = 0 tenglama yagona yechimga ega.

TEOREMA2: Aytaylik, f(x)EC[a,b] y + -sinx + f(x) = 0 tenglama yagona yechimga egaligini isbotlang.

bo'lsin.

Yechimi: f(x, у) = у + ^sinx + f(x) fimksiya x bo'yicha uzluksiz fy (x, у) = 1 chegaralangan.Yuqoridagi masalaga ko'ra/(x,y) = 0 tenglama [a, b] kesmada yagona uzluksiz yechimga ega.

Xuddi shunday y + ^sinx +/(x) = 0 tenglama ham yagona uzluksiz

yechimga ega.

3.1. Ba'zi ketma-ketliklar limitlarini hisoblash.

SHunday ketma-ketliklar borki, ulaming limitlarini xisoblashda iteratsiya usuli juda qo'l keladi. Ushbu

аг, a2, аъ,..., an,... (1)

ketma-ketlikni olaylik. Agar (1) ning hadlari geometrik progressiya tashkil etsa, u xolda quyidagilarga ega bo'lamiz:

a0, ai = aoq, a2 = a\q, ..., an = an-iq.... . (2)

Bu erda q progressiyaning maxraji.

Faraz qilaylik, (1) ning ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi o'zidan oldingi hadi bilan biror qonun bo'yicha borlangan bo'lsin. Bu borlanishni quyidagicha ifodalaymiz:

an = f (an-l), n = 1,2,3,... . (3)

Agar hadlari (3) tengliklarni qanoatlantiruvchi (1) ketma-ketlikning n ^œ da chekli limiti mavjud bo'lsa, u holda bunday yaqinlashish usuliga ketma-ket yaqinlashish yoki iteratsiya usuli deyiladi. Bunda a0 -nolinchi yaqinlashish, a esa n -yaqinlashish deyiladi. Endi (3) ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun etarlilik shartini kiritamiz.

1-teorema. Agar (3) monoton va chegaralangan ketma-ketlik bo'lsa, u yagona chekli limitga ega, ya'ni

lim an = lim f (an-i) = f ( lim an-i I = a.

n ^œ n ^œ \n ^œ J

a soni a = f (a) tenglamadan aniqlanadi.

2-teorema Agar y = f (x) funksiyaning

1) aniqlanish sohasini o'z ichiga olsa yoki unga teng bo'lsa;

2) aniqlanish sohasida olingan ixtiyoriy ikkita xx va x2 qiymatlar uchun

\f ( x1) - f ( x2)| u holda (3) ketma-ketlik yagona chekli limitga yaqinlashadi va bu limit a = f (a) tenglamaning ildizi bo'ladi.

Teoremaning isboti murakkab bo'lmaganligi uchun uni keltirib o'tirmaymiz.

Eslatma:
a) 1- va 2- teoremalarning shartlari (3) iteratsiya ketma-ketligi yaqinlashishining etarli shartlaridir, lekin zaruriy shartlari bo'la olmaydi, chunki (3) ketma-ketlik yaqinlashishidan bu shartlarning bajarilishi kelib chiqmaydi.

b) YUqoridagi teoremalar (3) iteratsiya ketma-ketligi chekli limitga yaqinlashishini barcha etarli shartlarini qamrab olmagan.

Endi teoremalarning natijalarini misollarda oydinlashtiramiz.

1-misol. Birinchi hadi a, maxraji q bo'lgan geometrik progressiya hadlari yirindisidan tuzilgan Sn ketma-ketlikni olaylik.

Sn = a1 + q(a1 + a2q +... + alqn~2) = a1 + qSn_1.

y = f(x) = a + qx funksiyaning aniqlanish sohasi R = (_x, + œ) bo'ladi, qiymatlar to'plash ham. Demak, 2-teoremaning 1-sharti o'rinlidir. Xj,x2 g R ixtiyoriy nuqtalar bo'lsin. U holda

\f (xi) _ f (x2^ = |qxi _qx2\ =1 q I ■ I xi _x21

Agar | q |< 1 bo'lsa, 2-teoremaning 2-sharti ham o'rinli bo'ladi. Demak, ketma-ketliik yaqinlashadi. lim S„ = lim S^ = S larni hisobga olsak, S = a + qS ni hosil

qilamiz.

a,

Bundan S ni aniqlasak, S = —— bo'ladi. Bu esa Sn ketma-ketlikning limitidir.

1 _ q

| q |> 1 bo'lsa, {SB} uzoqlashadi.

2-misol. Interatsiya usulidan foydalanib quyidagi ketma-ketlik limitini hisoblaymiz

a„

= W a + byl a +... + b4a (a > 0, b > 0).

Bu erda a = b-ia ; a, = bV a + b4a va hokazo.

Yechish. Bu ketma-ketlikning har bir keyingi hadini o'zidan oldingi hadi orqali quyidagicha ifodalash mumkin:

a2 = b^Ja + a1, a3 = b^Ja + a2,...,an

= bV a + an _1 . (4)

{a } monoton (kamaymaydigan) ketma-ketlik ekani ravshan. Demak,

an+1 _ an > 0 (n = 1,2,3,...) .

Bundan

^ , I--b2 (a + a ) _ a2 2

0 < bJa + a _ a =—v, nJ-n- ^_ a2 + b2a + b2a > 0 ^

V n n j I n n

bJa + a + a

V n n

^ a2 _b2a _b2a < 0, (n = 1,2,3,...)

nn

Oxirgi kvadrat uchhadning ildizlarini aniqlaymiz

, , b2 ± Wb2 + 4a

(an )i,2 =-2-.

Bunga ko'ra (an)2 < an < (an)1 bo'ladi. aH > 0 (n = 1,2,3,...) bo'lgani uchun ushbu

A , b2 + Wb2 - 4a

0 < a <-

n 2

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Bundan esa {an} ketma-ketlikning chegaralanganligi

kelib chiqadi. SHunday qilib, qaralayotgan ketma-ketlik 1-teoremaning hamma shartlarini qanoatlantiradi. Demak, u chekli limitga yaqinlashadi. (4) tenglikning har ikkala tomonida n ^ œ bo'lganda limitga o'tamiz va liman = liman_x = x ni hisobga

, ^ •• , ,, 7 I- Ь2 + Ьл/Ь2 + 4a . .

olamiz. Natijada ushbu x = Wa + x, x =---ni topamiz.

Bu yuqoridagi ketma-ketlikning limitidir.

,• 1,1 и I и I—— Ь2 + ь4ь 2 + 4a lima = ^a + ^a + +... =-.

n^œ 2

Bu tenglikning har ikkala tomonini Ь ga qisqartirsak, quyidagilarni hosil qilamiz:

I , I , I—= Ь WЬ2 + 4a

Va + ^a + Wa + ■■■ =---. (5)

(5) tenglikda a va Ь ga tayin qiymatlar bersak, ba'zi muhim limitlarning natijalariga ega bo'lamiz:

1) Ь = 1 bo'lsa, -\Ja + л/0+л/a +... = 1 + ^ 1 + ;

2) Ь = 1; a = 2 bo'lsa, V2 + V2 + V2 + = 2 ;

3) Ь = 1; a = б bo'lsa, д/б + л/б Wб + = З ;

4) Ь ф О; a = О bo'lsa, -\ь + VЬ WЬ +... = Ь ;

5) Ь = 2; a = З bo'lsa, д/З + + 2л/З + ... = З З) va 5) munosabatlardan

=л1 З + ^л/з+2Л/З +... ekani kelib chiqadi.

Malumotnomalar

1. Саримтокрв Т.А. Фyнкциoнал анализ курси. «Укдтувчи» Т., 1986

SJIF 2023 = 6.131 / ASI Factor = 1.7

3(6), June, 2023

2. Саримсокрв Т.А. Хдкикий узгарувчили функциялар назарияси. Т., 1993

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. «Наука». 1972

4. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Из-во «Наука». М. 1984

5. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. М. Просвешение. 1981.