Matematik model va uning bosqichlari. Matematik modellashtirish vazifasi

2 – MARUZA


Matematik modelga misollar. Matematik modelni ifodalash shartlari. Matematik modelga qo’yiladigan asosiy talablar. Matematik modellarni qurish metodlari.


Reja:

1. 
   Matematik model va uning bosqichlari.
   
2. 
   Matematik modellashtirish vazifasi.
   
3. 
   Real vaziyatlarni modellashtirish.
   
4. 
   Matematik modelga misollar. Tuya va ot masalasi.
   
5. 
   Ikki nuqtadan o’tuvchi chiziqni topish.
   
6. 
   Koptok masalasi.
   

Matematik model - matematik timsollar, belgilar va hodisalar sinfining taxminan namunasi, bayoni. Obʼyektiv dunyo hodisalarini toʻliq aks ettiradigan Matematik model qurish mumkin emas, lekin istalgan aniqlikda toʻgʻri aks ettiradigan Matematik model qurish mumkin. Matematik model 4 bosqichga boʻlinadi: modelning asosiy obʼyektlarini bogʻlovchi qonunlarni shakllantirish; Matematik model olib keladigan matematik masalalarni yechish; modelning nazariyaga mos kelishini aniqlash, modelni tahlil qilish va takomillashtirish. Matematik modelning klassik namunalaridan biri suyuqlik harakatini oʻrganishdir. Dastlab, 18-asrda suyuqlik qisilmaydigan bir jinsli, faqat massa va energiya saqlanishi qonuniga boʻysunadigan modda ("ideal qisilmaydigan suyuqlik") deb olingan. Shularga asoslanib qurilgan Matematik modelda suyuqlik harakati maxsus differensial tenglamalar bilan ifodalangan. Keyinchalik bu Matematik model takomillashtirilib, suyuqlikning qisiluvchanligi, yopishqoqligi, molekulyar tuzilishi, uyurma hosil boʻlishi, issikdik, elektr va boshqa taʼsirlar hisobiga olingan differensial tenglamalari tuzilgan. Matematik model fizika, astronomiya, biol., iqtisodiyot, tibbiyot va boshqa sohalarda asosiy tadqiqot usuli hisoblanadi.
Modellashtirish nazariyasini asosiy masalasi tadkikotchilarni modellarni yaratish texnologiyasiga urgatishdan iborat. Bunday texnologiya orginallarini urganilayotgan xususiyatlarini etarli aniklik va tula ravishda tadkik etish imkoniyatini beradi.
Ob’ekt -original sifatida asosan xisoblash tizmlari kurilgan bulib, modellashirishni predmet soxasini tashkil etadi. Xisoblash tizmi tushunchasi bu erda keng ma’noga ega bulib, bir prostessorli ma’lumotlarni kayta ishlash tizmidan turli dasturiy ta’minotli taksimlangan xisoblash tizmlarigacha va turli vazifalarga muljallangan tizmlar kiradi. Xisoblash tizmlari - bu sun’iy, muxandislik tizmlari bulib, uning xamma parametri ma’lum. Demak, bu parametrlarni tadkik etish, aniklash imkoni bor. Shuning uchun xisoblash tizmlarini modellashtirishni prinstipial imkoni bor.
Modellashtirish muammosi bilan biz asosan ikki xolda duch kelamiz: birinchidan, bilish jarayonlarida, ya’ni ob’ekt va jarayonlarni bilish modelini tuzishda, ikkinchidan boshkarish jarayonlarida, ya’ni ob’ektni maksadga tomon yunaltirilgan boshkarishda, ya’ni inson tomonidan kuyilgan maksadga erishish uchun.
Bilish jarayonida bilish modeli yaratiladi. Bu model zaruriy kurinishda ob’ektni ishlash mexanizmni aks ettiradi. Bunday modellashtirishga misol sifatida bizni urab turgan tabiatni urganishni olish mumkin. Tabiat xususiyatlarini tushintira olish, ularni uzaro boglanishi, mexanizmlarni taxlil etish va x.k. -mana bunday modellashtirishni asosiy masalalarni tashkil etadi. Bunday modellashtirish bilishdan kam farklanadi. Modellarni asosiy maksadi shunday modellar yaratish kerakki ular inson uchun muxim bulgan tabiat ob’ektlarini aks ettiruvchi modellar ishlab chikishdan iborat. Bunday xususiyatlar xar bir ob’ekt yoki xodisadagi sabab - okibat boglanishlarini turlicha kurinishda aks ettirilishi bilan ifodalanadi.
Matematik modellashtirish vazifasi «mavjud olam»ni matematika tilida bayon etishdan iboratdir. Bu uning eng aҳamiyatli xususiyatlari ҳaqida ancha aniq tasavvurga ega bo’lish uchun imkon beradi va aytish mumkinki, bo’lajak ҳodisalarni bashoratlash mumkin bo’ladi. Bu ҳolat ayni «matematik modellashtirish» terminini ifodalaydi. Amaliyotda boshlanғich nuqga bo’lib, qoidaga ko’ra, ba’zi real vaziyatlar ҳisoblanadi, bular tadqiqotchi oldiga javob topish talab etiladigan vazifalarni qo’yadi.
Matematik taҳlil etish mumkin bo’lgan vazifalarni ajratish (qo’yish) jarayoni ko’p ҳollarda davomli ҳisoblanadi va faqat matematik bilimlarnigina emas, balki o’sha soҳadagi ko’plab malakalarni ҳam egallashni talab etadi. Bundagi real vaziyat matematik modelda tasvirlanadi.
Real vaziyatni taҳlil qilish natijasida matematik tavsiflashga imkon beruvchi vazifani qo’yish amalga oshiriladi. Ko’pincha vazifani qo’yish bilan barobar ҳodisaning asosiy yoki e’tiborli jiҳatlarini aniqlash jarayoni ҳam kechadi. Keyinchalik aniqlangan aҳamiyatli omillar matematik tushuncha va qiymatlar tiliga o’tkaziladi, shuningdek mazkur qiymatlar o’rtasidagi nisbat qoidalashtiriladi, buning natijasida matematik model olinadi.
Qoidaga ko’ra, bu modellashtirish jarayonining eng qiyin bosqichidir, buni bajarish uchun ҳech qanday umumiy tavsiyalar berish mumkin emas. Matematik model ishlab chiqilgandan so’ng u tekshiruvdan o’tkazilishi kerak. Shu o’rinda ta’kidlash joizki, model ayniyligini tekshirish qaysidir darajada vazifani qo’yish davomida amalga oshiriladi, chunki tenglama yoki boshqa matematik nisbat, modelda ifodalangan, muntazam ravishda boshlanғich real vaziyatta qiyoslanadi.
Model ayniyligini tekshirishning bir necha jiҳatlar mavjud. Birinchidan, modelning matematik asosi ziddiyatsiz va matematik mantiqning barcha qoidalariga bo’ysunishi kerak. Ikkinchidan model boshlanғich real vaziyatni aynan tasvirlashi kerak. Biroq, taklif etilayotgan modelning aynanligi ҳaqidagi xulosa bunday tekshirishda sezilarli darajada sub’ektivdir. Modelni mavjud narsani tasvirlashga majbur etish mumkin, biroq u ҳali o’sha mavjudlik emas.



Real vaziyatlar turli maqsadlarda modellashtiriladi. Ulardan asosiysi – yangi natijalarni yoki ҳodisaning yangi, xossalarini oldindan aytib berishdir. Ko’pincha bunday oldindan aytishlar barcha eҳtimollarga ko’ra kelajakda o’z o’rniga ega bo’ladi. Bashorat ҳodisalarga ҳam taallukli bo’lishi mumkin. Bularni bevosita eksperiment yo’li bilan tadqiq etish mumkin emas (kosmik tadqiqotlar programmalaridagi bashoratlar). Boshqa modellar o’lchov qo’llamini ancha qulay qilish maqsadida quriladi. Masalan, ҳarorat uchun chiziklik shkala termometrda foydalaniladigan matematik model ҳisoblanadi. Texnikaviy ob’ektlardagi matematik modellar avtomatlashtirilgan loyiҳalash sistemalari (ALS)da keng qo’llaniladi. Bu modellarni mikro-, makro- va metomiqyoslarda bajarish mumkin, bular ob’ektdagi jarayonlarni ko’rib chiqish detallashtirilgan darajasiga ko’ra farqlanadi.

Tenglamalar sitemasini echishga olib keladigan qo’yidagi qadimgi masalani ko’raylik: Ot bilan tuya elkalariga oғirligi teng qoplarda yuk bilan kelishardi. Tuya o’zidagi yukni. oғirligidan shikoyat qildi. Ot unga javoban dedi: Nega endi sen yukim oғir deb shikoyat qilyapsan. Agar seni ustingdagi bitta qopni men olsam meni ustimdagi yuk sendagidan ikki marta ko’p bo’ladi. Agar meni ustimdagi qoplardan sen bitta olsang, ustimizdagi yuklar teng buladi. Barcha qoplar oғirligi bir-biriga teng bo’lsa, otni ustida qanchayu, tuya ustida kancha qop bo’lgan?

Tuya ustidagi qoplar sonini X, ot ustidagi qoplar sonini u, deb olsak

Tuya otga bir kop yuk bersa Agar ot tuyadan qop olsa	x-1
Otdagi yuk	u+1
Tuyadagidan 2 marta ko’p ko’p bo’ladi.	u+1=2(x-1)
Agar tuya otdan bir qop olsa	u-1
Tuyadagi yuk	x+1
Otniki bilan bir xil bo’ladi	u-1=x+1

Yuqoridagi jadvaldan ko’rinadiki, masala 2 noma’lumli 2 ta teng sistemaga keldi:

1 teng sistemadan 2 chi ayirib

2 – misol.
Tekislikda ikki nukta berilgan (x₁,u₁),(x₂,u₂).Shu nuktalardan utuvchi tugri chizik tenglamasi topilsin.
Tenglama ko’rinishi bo’lsin.Bu erda k va v noma’lum kiymatlar. Ushbu tenglamaga nuktalar kiymatlarini kuyib

tenglamalar sistemasini ҳosil qilamiz.
1. Masalaning qo’yilishi va maqsadning aniqlanilishi. Koptok 29, 5 m / sek
tezlik bilan tepaga tik ravishda tepilgan. U qancha balandlikka ko’tariladi? (Havoning qarshiligi xisobga olinmasin).
2. Masalani matematik ifodalash.
Berilgan: Vo = 29, 5 m / sek. ; V = Vo.
Koptokni balandlikka ko’tarilish xarakatini ifodalovchi qonuniyat:
(1)
bu yerda: t - koptokning ko’tarilish vaqti, sek. ; g - erkin tushish tezlanishi ( 9, 8 m / sek );
3. Masalani echish usulini ishlab chiqish.
Koptokning tezligi eng yuqori balandlikka etganda nolga teng bo’ladi:
V= 0. Fizika kursidan ma'lumki, tezlik yo’ldan vaqt bo’yicha olingan xosila.
V = dh / dt. (2)
(1) dan xosila olsak
(3)
(3) -ni nolga tenglab t ning qiymatini topamiz:
(4)
(4)-dan t ni topib (1) ga qo’yamiz.



******************************************************************
Bir nechta bir xil hajmdagi ballonlarda har xil ma’lum bosimda gaz bor. Eng past bosimli gaz birinchi ballonda bo’lsin. Shu ballonni boshqa ballonlarga bir maartadan ko’p bo’lmagan marta ulash mumkin bo’lsin. Ikki ballonni bir-biriga ulaganda ulardagi bosim shu iiki ballondagi bosim o’rtachasiga teng bo’ladi. Birinchi ballonni boshqa ballonlarga qanday ketma-ketlikda ulash kerakki, unda eng katta bosimli gaz hosil bo’lsin.
Agar eng past P₁ bosimli ballonni keyingi P₂ bosimdagi ballon bilan ulasak, unda ikki ballondagi bosim
bo’ladi. Endi birinchi ballonni uchgunchi ballondagi bosim P₃ bilan ulasak, birinchi ballondagi bosim
ga teng bo’ladi.
Bu mulohazalarni davom ettirib birinchi ballonni P₁, P₂, …, P_n bosimli ballonlarga ketma-ket ulab chiqsak, birinchi ballondagi bosim
bo’ladi.
Ushbu ifodani tahlil qilsak, 1-chi ballon bosimiga eng ko’p hissani P_n – chi ballon berar ekan. Demak, ana shu P_n uchun eng ko’p bosimli ballonni tanlash kerak ekan.


Jismga yerda burchak ostida boshlang‘ich tezlik berildi. Jismning harakat traektoriyasini va uning otilish va yerga tushish nuqtalari orasidagi masofani aniqlash kerak.
Quyidagi taxminlar asosida masalaning matematik modelini quraylik:

1. 
   Yer – sanoq boshi (inerstialnaya sistema otscheta);
   
2. 
   Erkin tushush tezlanishi g o‘zgarmas;
   
3. 
   Yer yuzasining egriligini e’tiborga olmaslik mumkin va yer sathini tekis deb hisoblaymiz;
   
4. 
   Harakatdagi jismga havoning ta’sirini ham e’tiborga olmaymiz.
   

Koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:
Koordinata boshini jismning otilish nuqtasiga o‘rnatamiz, x o‘qini gorizontal qilib jismning harakati bo‘yicha yo‘naltiramiz, y o‘qini esa yuqoriga vertikal holda yo‘naltiramiz. Jismning x o‘qidagi proeksiyasi tezlik bilan harakatlanadi. y o‘qidagi proyeksiyasi tezlik bilan tekis tezlanuvchan harakat qiladi.

Shunday qilib, jismning harakati quyidagi formulalarda ifodalanadi:
(1)
(2)


Hosil qilingan model juda sodda bo‘lib, undan osonlikcha masalaning javobini topish mumkin. (1) tenglamadan t ni topamiz va uni (2)ga olib kelib qo‘yamiz:
;
. (3)
Hosil qilingan (3) tenglama jismning harakat trayektoriyasini ifodalaydi. Uning parabola ekanligi ko‘rinib turibdi. Bu parabola x o‘qini 2 nuqtada kesib o‘tadi: x=0 va x=l, bunda
(4)
x=0 nuqta jismning otilish nuqtasi. x=l nuqta esa jismning yerga tushish nuqtasi. (4) formula jismning qanday masofaga otilganini ko‘rsatadi.
Tatbiqiy masalalarni yechishda matematik modelni to‘g‘ri tanlash murakkab va mas’uliyatli bosqich hisoblanadi. Tajribalar shuni ko‘rsatadiki, to‘g‘ri tanlangan model – bu masalaning yarmidan ko‘pi yechilgan deganidir. Matematik bilimlarni jarayon yuz berayotgan sohaga tegishli bilimlarga qo‘shib jarayonning matematik modelini qurish bosqichdagi asosiy qiyinchilikni tashkil qiladi. Shuning uchun ham tatbiqiy matematikadagi katta muammolarni hal qilishda matematiklar bilan bir qatorda jarayon tegishli bo‘lgan soha mutaxassislari ham ishtirok etishadi.


Sinov savollari:

1. 
   Matematik model va uning tarixi.
   
2. 
   Matematik model vazifasi nimadan iborat?
   
3. 
   Vaziyatni matematik tavsiflash va modellashtirish tavsifi.
   
4. 
   Matematik modelga misol. Ot va tuya masalasi.
   
5. 
   Matematik modelga boshqa misollar.
   
6. 
   Matematik model tuzishdagi chegaralanishlar(taxmin)ga misollar keltiring.