Mavzu: Qatiq jismning eng soda harakatlari

6– Ma’ruza Mavzu: Qatiq jismning eng soda harakatlari: Qattiq jismning ilgarilama harakati. Qattiq jismning ilgarilama xarakatida uning ixtiyoriy nuqtasining tezlik va tezlanishlarini aniqlash. Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakatida uning burchakli tezligi va burchakli tezlanishianishi.Jism nuqtalarining chiziqli tezligi va tezlanishi.

REJA:
1. Qatiq jismning eng soda harakatlari: Ilgarilanma harakat.
2. Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakati.

6.1 § Ilgarilanma harakat.

Kinematika qismida ham, statika qismidagi kabi hamma qattiq jismlarni absolyut qattiq jism deb qabul qilinadi. Qattiq jism kinematikasi ikki qismga bo‘linadi:
1) harakatning berilishi va ular orqali qattiq jismning barcha kinematik xarakteristikalarni aniqlash; 2) qattiq jismning ayrim nuqtalarining kinematik xarakteristikalarini aniqlash.
Qattiq jismning ilgarilanma harakatini o‘rganishdan boshlaymiz.
Qattiq jismning ilgarilanma harakati deb shunday harakatga aytiladikiga "Qattiq jism harakati: ilgarilama:", shu qattiq jismda olingan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq, harakat davomida har doim o‘zining boshlang‘ich holatiga parallelligini saqlab qoladi.
Ilgarilanma harakatni to‘g‘ri chiziqli harakat bilan almashtirib yubormaslik lozim. Ilgarilanma harakatdagi qattiq jismning nuqtalarining traektoriyalari turli xil egri chiziqlardan iborat bo‘lishlari mumkin. Misollar keltiraylik:
1. Avtomobilning kuzovi, yo‘lning gorizontal to‘g‘ri qismida ilgarilanma harakat qiladi. Kuzovning hamma nuqtalarining traektoriyalari to‘g‘ri chiziqlardan iborat bo‘ladi.

106-shakl
2. O₁A va O₂B krivoshiplar aylanma harakat qilganda AB juftlovchi (106- shakl) ilgarilanma harakat qiladi (shu juftlovchida ixtiyoriy olingan to‘g‘ri chiziqlar, harakat davomida har doim o‘zining boshlang‘ich holatiga parallel holda qoladi).
Vaholanki, juftlikning barcha nuqtalari aylana bo‘ylab harakat qiladilar.
Ilgarilanma harakatning xossasi quyidagi teorema orqali aniqlanadi: Qattiq jismning ilgarilanma harakatida, uning barcha nuqtalari bir xil traektoriyalar (ularni siljitilsa ustma-ust tushadi) bo‘yicha harakatlanadilar va har bir ixtiyoriy olingan vaqtda ularning barcha nuqtalarining tezlik va tezlanish vektorlarining moduli va yo‘nalishlari bir xil bo‘ladi.
Bu teoremani isbot qilish uchun, Oxyz hisob sistemasida ilgarilanma harakat qilayotgan qattiq jismni olib ko‘raylik. Ushbu jismda ixtiyoriy A va B nuqtalarni tanlab olaylik. Koordinata boshidan bu nuqtalarga tegishlicha va radius vektorlar va shu nuqtalarni birlashtiruvchi vektor o‘tkazaylik (106- shakl). U holda
(6.1)
A va B nuqtalar orasidagi masofa o‘zgarmas, undan tashqari vektorning koordinata o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari ham o‘zgarmaydi, chunki qattiq jism ilgarilanma harakat qilmoqda. Shunga asosan, aytish mumkinki vektor qattiq jismning har qanday ilgarilanma harakatida o‘z yo‘nalishi va qiymatini o‘zgartirmas ekan (ya’ni ). Demak (6.1) tenglikka asosan (va bevosita 107- shakldan ko‘rinib turganidek) B nuqtaning traektoriyasi A nuqtaning traektoriyasi bilan bir-xil bo‘lib, faqat undan o‘zgarmas vektorga siljigan ekan xolos. Shu sababli A va B nuqtalarning traektoriyalari (agar ustma-ust qo‘yilsa, bir-birini yopadi) mutloq bir xil egri chiziqlardan iborat ekan.
A va B nuqtalarning tezliklarini aniqlash uchun (6.1) tenglikning ikkala tomonidan vaqt bo‘yicha hosila olamiz,


107- shakl
Lekin o‘zgarmas vektordan vaqt bo‘yicha olingan hosila nolga teng. va -radius vektorlardan vaqt bo‘yicha olingan birinchi hosila, B va A nuqtalarning tezlik vektorlaridan iborat bo‘ladi. Natijada,

ekanligini aniqlaymiz, ya’ni qattiq jismning ilgarilanma harakatida uning ixtiyoriy olingan ikkita nuqtasining tezliklari, ham son qiymatlari, ham yo‘nalishlari bo‘yicha bir xil ekan. Oxirgi tenglikdan vaqt bo‘yicha yana bir marta hosila olsak shu nuqtalarning tezlanishlarini aniqlaymiz, ya’ni

Demak, qattiq jismning ilgarilanma harakatida, uning ixtiyoriy A va B nuqtalarining tezlanishlari ham son qiymatlari jihatidan, ham yo‘nalishlari bo‘yicha bir xil ekan.

108- shakl.
A va B nuqtalarni ixtiyoriy ravishda tanlab olganligimiz sababli, qattiq jismning ilgarilanma harakatida uning barcha nuqtalarining istalgan vaqtdagi tezlik va tezlanish vektorlari bir-birlariga teng ekan. Shunday qilib yuqoridagi teorema isbot qilindi.
Yuqorida isbot qilingan teoremaga asosan, ilgarilanma harakat qilayotgan qattiq jismning tezlik va tezlanish vektorlarining maydonlari bir jinsli bo‘lar ekan (108- shakl), lekin nostatsionar, ya’ni vaqt oralig‘ida o‘zgaruvchan bo‘lar ekan (32§-ga qarang).
Yuqorida isbot qilingan teoremaga asoslanib, shuni ta’kidlash mumkinki qattiq jismning ilgarilanma harakatini uning ixtiyoriy olingan bitta nuqtasining harakati orqali o‘rganish mumkin ekan. Demak, qattiq jismning ilgarilanma harakatini o‘rganish, biz o‘tgan paragraflarda ko‘rib o‘tgan nuqta kinematikasini o‘rganish bilan bir-xil ekan.
Qattiq jismning ilgarilanma harakatida uning barcha nuqtalari uchun bir xil bo‘lgan tezlik - ni jismning ilgarilanma harakat tezligiga "Qattiq jism harakati: ilgarilama harakat: tezlik:", uning tezlanishi -ni jismning ilgarilanma harakat tezlanishiga "Qattiq jism harakati: ilgarilama harakat: tezlanish:" deb ataladi. va -vektorlarni jismning ixtiyoriy olingan nuqtasiga qo‘yish mumkin bo‘ladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, jismning tezligi va tezlanishi degan iborani qattiq jismning faqat ilgarilanma harakatidagina ishlatish mumkin xolos. Qattiq jismning qolgan barcha harakatlarida bunday - «jismning tezligi» va «jismning tezlanishi» kabi so‘zlar o‘rinsiz bo‘ladi, chunki jismning har bir nuqtasining tezligi va tezlanishlari turlicha bo‘ladi.
6.2 § Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakati. Burchakli tezlik va burchakli tezlanish

109-shakl.
Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakati deb, shunday harakatga aytiladiki, jismning kamida ikkita nuqtasining tezligi har doim nolga teng bo‘lishi shart (134 shakl). Shu qo‘zg‘almas nuqtalarni A va B harflari bilan belgilasak, shu nuqtalardan o‘tgan o‘q jismning aylanish o‘qi deb ataladi.
Qattiq jismning nuqtalari orasidagi masofalar harakat davomida o‘zgarmay qolishligi sababli, aylanish o‘qida yotuvchi barcha nuqtalar qo‘zg‘almas bo‘ladilar. Aylanish o‘qida yotmagan barcha nuqtalarning traektoriyalari aylanish o‘qiga perpendikulyar tekisliklarda joylashadi va markazlari aylanish o‘qida joylashgan tegishli radiusli yoylardan iborat bo‘ladi.
Aylanma harakat qilayotgan qattiq jismning holatini aniqlash uchun, aylanish o‘qidan o‘tuvchi ikkita tekislik tanlab olamiz: ulardan biri qo‘zg‘almas I-yarim tekislik, ikkinchisi jismning aylanish o‘qini kesib o‘tuvchi va jism bilan birgalikda aylanma harakat qiluvchi II-yarim tekislikdan iborat bo‘lsin (109- shakl).
U holda jismning ixtiyoriy holati, uning aylanma harakatida II-yarim tekislikning Az - o‘q atrofida burilishi natijasida qo‘zg‘almas I-yarim tekislik bilan hosil qiladigan j -burchak orqali aniqlanishi mumkin. Ushbu j - burchakni jismning burilish burchagga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: burilish burchagi:"i deb ataladi. Agar aylanish o‘qining musbat tomonidan qaraganimizda, II-yarim tekislik Az - o‘q atrofida soat strelkasiga teskari tomonga aylansa, bunday harakat musbat aylanish burchagi deb ataladi, agar soat strelkasiga teskari tomonga burilsa manfiy burilish deb hisoblanish qabul qilingan.
Agar oldindan ta’kidlanmagan hollardan tashqari, har doim burilish burchagini faqat radianlarda o‘lchash qabul qilingan. Aylanma harakatdagi jismning istalgan vaqtdagi holatini aniqlash uchun, burilish burchagi j -ning vaqt t-ga bog‘liq bo‘lgan tenglamasi berilgan bo‘lishi lozim, ya’ni
j=f(t) (6.2)
(6.2) tenglama, qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakatining qonuni deb ataladi.
Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakatining asosiy kinematik xarakteristikalari burchakli tezlik -w va burchakli tezlanish -e^[1] lardan iborat bo‘ladi.
Agar qattiq jism Dt=t₁-t vaqt oralig‘ida Dj=j₁-j burchakka burilsa, o‘rtacha burchakli tezlik deb, intilganda, o‘rtacha burchakli tezlik haqiqiy burchakli tezlikka aylanadi, ya’ni
w=dj/dt yoki (6.3)
Shunday qilib, qattiq jismning burilish burchagga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: burilish burchagi:"idan vaqt bo‘yicha olingan birinchi hosila jismning istalgan vaqtdagi burchakli tezligining son qiymatini aniqlab berar ekan. (6.3) tenglikdan ko‘rinib turibdiki, jismning burchakli tezligi -w, elementar burilish burchagi dj -ni, shu elementar burilishga sarflangan vaqt dt - ga nisbatiga teng ekan. Burchakli tezlik w-ning ishorasi aylanishning yo‘nalishini aniqlab beradi. Masalan, agar jism soat strelkasining yo‘nalishiga teskari bo‘lsa w>0 bo‘ladi, aks holda w<0 bo‘ladi.

110- shakl.
Burchakli tezlikning o‘lchov birligi 1/T (ya’ni 1/vaqt), amalda ko‘proq rad/s yoki 1/s (s^-1) shaklda ifodalanadi, radian-o‘lchovsiz qiymatdan iborat.
Burchakli tezlikni vektor - shaklida ham ifodalash mumkin, u aylanish o‘qi bo‘ylab yo‘naladi, uning moduli esa -belgi orqali ifodalanadi. Agar burchakli tezlik musbat ishorali bo‘lsa uning yo‘nalishi aylanish o‘qi bilan bir tomonga yo‘nalgan bo‘ladi, agar manfiy ishorali bo‘lsa o‘qqa teskari yo‘nalishda bo‘ladi. Bunday vektor bir vaqtning o‘zida qattiq jismning aylanma harakatining ham yo‘nalishi, ham modulini aniqlab beradi.
Burchakli tezlanishga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: burchakli tezlanish:". Qattiq jismning burchakli tezlanishi burchakli tezlikning vaqt birligi ichidagi o‘zgarishini ifodalab beradi. Agar Dt=t₁-t vaqt oralig‘ida burchakli tezlik Dw=w₁-w qiymatga o‘zgarsa, burchakli tezlanishning o‘rtacha qiymati e_o‘rt=Dw/Dt -ga teng bo‘ladi. Agar Dt®0 intilganda o‘rtacha burchakli tezlanish haqiqiy burchakli tezlanishga aylanadi va (6.3) tenglikni e’tiborga olgan holda,
(6.4)
aniqlanadi. Shunday qilib, burchakli tezlanishning son qiymati burchakli tezlikdan vaqt bo‘yicha olingan birinchi hosilaga teng yoki burilish burchagidan vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng ekan.
Burchakli tezlanishga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: burchakli tezlanish:"ning o‘lchov birligi 1/T² (1/vaqt²); burchakli tezlikning o‘lchov birligi sifatida, amalda rad/s dan foydalaniladi, yoki 1/s (s^-1) ishlatiladi.
Agar burchakli tezlikning moduli ortib borsa, aylanma harakat tezlanuvchan deb ataladi, agar kamayib borsa aylanma harakat sekinlanuvchan deb ataladi. Burchakli tezlik -w va burchakli tezlanish e -ning ishoralari bir xil bo‘lsa tezlanuvchan, turli xil bo‘lsa sekinlanuvchan aylanma harakat deb ataladi.
Jismning burchakli tezlanish vektori (burchakli tezlik vektori kabi) ham -vektor sifatida aylanish o‘qi bo‘ylab tasvirlanadi. Hamda,
(6.5)
Agar va -lar bir tomonga yo‘nalgan bo‘lsalar (110- a shakl), aylanma harakat tezlanuvchan, agar qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan bo‘lsalar (110- b shakl) sekinlanuvchan bo‘lar ekan.
6.3 § Tekis va tekis o‘zgaruvchan aylanma harakat.
Agar burchakli tezlik vaqt davomida o‘zgarmasa (w=const), bunday harakatni tekis aylanma harakat deb ataladi. Tekis aylanma harakatning qonunini aniqlaylik. (6.3) formuladan dj=w×dt - ni aniqlaymiz. Harakatni kuzatish boshlanganda, ya’ni t=0 s da burilish burchagi j=j₀ bo‘lgan bo‘lsa, oxirgi tenglikning ikkala tomonidan, o‘ng tomonidan 0 dan t -gacha, chap tomonidan j₀ dan j -gacha chegaralarda integral olib, quyidagi natijani olamiz,
j=j₀+wt (6.6)
(6.6) tenglamadan ko‘rinib turibdiki j₀=0 bo‘lsa, tekis aylanma harakatning qonuni,
j=wt yoki w=j/t (6.7)
tenglamalar orqali ifodalanadi.
Texnikada aylanma harakatning burchakli tezligini 1 minut ichidagi aylanishlar soni orqali ifodalanadi va uni n ayl/min(ruscha - ob/min)^[2] bilan ifodalanadi, endi, n ayl/min bilan 1/s orasidagi bog‘lanishni aniqlaylik. Jism aylanish o‘qi atrofida bir marta to‘liq aylansa, u 2p burchakka burilgan bo‘ladi va n - marta aylangan bo‘lsa demak, jism jami bo‘lib 2pn burchakka burilgan bo‘ladi; ushbu burilish t=1minut=60 sekund vaqt mobaynida sodir bo‘lgan. Bu qiymatlarni (6.7) formulaga qo‘ysak,
w=pn/30»0,1n (6.8)
tenglama orqali bog‘langan bo‘lar ekan.
Agar burchakli tezlanish vaqt davomida o‘zgarmasa (e=const), bunday harakat tekis o‘zgaruvchan aylanma harakat deb ataladi. Harakatni kuzatish boshlanganda, ya’ni t=0 s da burchakli tezlik w=w₀ (w₀ -harakatni kuzatish boshlangandagi burchakli tezlik) bo‘lgandagi jismning aylanma harakat qonunini keltirib chiqaramiz.
(6.4) formuladan dw=e×dt ekanligini aniqlaymiz. Bu tenglamaning o‘ng tarafini 0 dan t -gacha, chap tomonini w₀ dan w -gacha chegarada integrallab, quyidagi natijani olamiz,
w=w₀+e×t (6.9)
bu tenglikni (6.3) formula yordamida quyidagicha ifodalaymiz,
dj/dt=w₀+e×t yoki dj=w₀dt+e×tdt
oxirgi tenglikni yana bir marta integrallab,
(6.10)
tekis o‘zgaruvchan aylanma harakatning qonunini aniqladik.
Bunday harakatdagi burchakli tezlik w -ni (6.9) formula orqali aniqlanadi. Agar w va e -lar bir xil ishorali bo‘lsalar, harakat tekis tezlanuvchan, aks holda tekis sekinlanuvchan bo‘ladi.
6.4 § Aylanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining chiziqli tezligi va tezlanishiga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: chiziqli tezlik:"ga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: chiziqli tezlanish:".
Biz yuqoridagi (49§, 50§-larda) qattiq jismning aylanma harakatida uning hamma nuqtalariga tegishli bo‘lgan kinematik xarakteristikalarni ko‘rib o‘tdik. Endi qattiq jismning alohida olingan har bir nuqtasining kinematik xarakteristikalarini ko‘rib chiqamiz.
1. Qattiq jism nuqtalarining tezligi. Qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanayotgan qattiq jismning aylanish o‘qidan h - masofada joylashgan ixtiyoriy M nuqtasining harakatini olib ko‘raylik (134 shakl). Qattiq jismning aylanma harakatida shu M nuqta markazi aylanish o‘qida yotuvchi S nuqta atrofida radiusi h-ga teng bo‘lgan aylana chizadi. Bu aylana aylanish o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan tekislikda yotadi.
Agar jism dt -vaqt oralig‘ida dj burchakka burilsa, u holda M nuqta o‘zining traektoriyasi bo‘ylab qilgan harakatida elementar ds=h×dj masofani bosib o‘tadi. Shunga ko‘ra, M nuqtaning chiziqli tezligi ds -ni dt-ga nisbatiga teng bo‘ladi, ya’ni

yoki
(6.11)
M nuqtaning tezligini jismning burchakli tezligidan farqlab, chiziqli tezlik yoki aylanma tezlik deb ataladi.
Shunday qilib, aylanma harakatdagi qattiq jism nuqtasi tezligining son qiymati, shu jismning burchakli tezligini uning aylanish o‘qigacha bo‘lgan masofasiga ko‘paytmasiga teng ekan.

111- shakl
M nuqtaning tezligi shu nuqtaning traektoriyasiga urinma holda yo‘nalib, M nuqta va aylanish o‘qidan o‘tuvchi tekislikka perpendikulyar bo‘ladi (boshqacha qilib aytganda, shu nuqtaning traektoriyasi joylashgan tekislikda yotadi -tarj).
Jismning burchakli tezligiga "Sferik harakat: burchakli tezligi:" -w uning nuqtalariga bog‘liq bo‘lmaganligi sababli, (6.11) formuladan ko‘rinib turibdiki, aylanayotgan qattiq jism nuqtalarining tezliklari ularning aylanish o‘qlarigacha bo‘lgan masofaga proportsional ravishda o‘zgarar ekan. Aylanayotgan qattiq jism nuqtalari tezliklarining maydoni 111- shaklda tasvirlangandek bo‘lar ekan.
2. Qattiq jism nuqtalarining tezlanishi. M nuqtaning tezlanishini aniqlash uchun formulalardan foydalanamiz.
Hozirgi masalada r=h. Tezlik v -ning qiymatini (6.11) tenglikdan olib kelib -larni aniqlash formulalariga qo‘ysak,

112- shakl

va nihoyat,
(6.12)
bo’lar ekan.
Urinma tezlanish - nuqtaning traektoriyasiga urinma holda (agar harakat tezlanuvchan bo’lsa harakat tomonga, sekinlanuvchan bo’lsa teskari tomonga) yo’nalgan bo’ladi; normal tezlanish - esa har doim MC radius bo’ylab aylanish o’qi tomonga qarab yo’nalgan bo’ladi (112- shakl).
M nuqtaning to’liq tezlanishining moduli (son qiymati), (11.14) formulaning birinchi tenglamasi yoki
(6.13)
formula orqali aniqlanadi.
To’liq tezlanish vektorining MC radius bilan hosil qilgan m -burchagi (11.14) formulaning ikkinchi tenglamasi tgm= / orqali aniqlanadi; va -larning qiymatlarini keltirib qo’ysak,
(6.14)
113-shakl
Burchakli tezlik-w va burchakli tezlanish - e jismning barcha nuqtalari uchun bir xil bo’lganligi sababli (6.13) va (6.14) formulalardan ko’rinib turibdiki barcha nuqtalarning to’liq tezlanish vektorlari aylanish o’qigacha bo’lgan masofaga proportsional ravishda bo’lib, ularning yo’nalishlari aylanish radiuslari bilan bir xil m - burchak tashkil etar ekan. Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida uning nuqtalarining tezlanish maydoni 138 shakldagi kabi tasvirlanar ekan.
Agar qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatining qonuni va nuqtaning aylanish o’qigacha bo’lgan masofasi - h berilgan bo’lsa, uning ixtiyoriy nuqtasining tezlik va tezlanishlarini (6.11)-(6.14) formulalar orqali aniqlash mumkin ekan. Agar jismning biror nuqtasining harakati ma’lum bo’lsa, ushbu formulalar orqali qolgan barcha nuqtalarining harakatlarini yoki qattiq jismning harakatini to’laligicha aniqlash mumkin ekan.

114- shakl
3. Qattiq jism nuqtalarining tezlik va tezlanish vektorlari. Ixtiyoriy M nuqtaning tezlik - va tezlanish - vektorlari ifodalarini aniqlash uchun, AB aylanish o’qining ixtiyoriy O nuqtasidan -radius vektor o’tkazamiz (114- shakl). U holda h=r×sina va (6.11) formulaga asosan,

Shunday qilib, -vektor ko’paytmaning moduli, M nuqtaning tezligini moduliga teng ekanligi isbotlandi. va vektorlarning nafaqat moduli, ularning yo’nalishlari ham bir xil ekan (ikkala vektorlar ham OMB tekisligiga perpendikulyar yo’nalgan) va o’lchov birliklari ham bir xil ekan.
Demak
(6.15)
ya’ni, aylanayotgan jismning ixtiyoriy nuqtasining tezlik vektori, jismning burchakli tezlik vektorini shu nuqtaning radius vektoriga bo’lgan vektor ko’paytmasiga teng ekan. (6.15) formulani ko’pincha Eyler formulasi deb ataydilar.
(6.15) formulaning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha bir marta hosila olsak,

yoki
(6.16)
Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatidagi ixtiyoriy nuqtaning tezlanishi (6.16) formula orqali hisoblanadi.
Vektor - vektor - kabi M nuqtaning traektoriyasiga urinma bo’ylab yo’naladi va | |=e×rsina=e×h bo’ladi. Vektor - har doim MC radius bo’ylab M nuqtadan normal o’q bo’yicha yo’naladi va | |=w×v×sin90°= h, chunki v=wh. Ushbu natijalarni va (6.12) formulani e’tiborga olib, va ekanligini aniqlaymiz.
1- masala. Val n=90 ayl/min burchakli tezlik bilan aylanma harakat qilmoqda. Shu valni aylantirayotgan yuritmani o’chirib qo’yilgandan keyin u sekinlanuvchan harakat qilib, t₁=40 s vaqt o’tgandan keyin to’xtaydi. Shu val o’z o’qi atrofida 40 s vaqt ichida necha marta aylanganligi aniqlansin.
Echish. Harakatni kuzatishni boshlagan vaqtimizda, ya’ni t=0 s da j₀=0 ekanligni e’tiborga olib va val tekis sekinlanuvchan harakat qiladi deb hisoblasak, u holda bunday harakatning qonuni,
, (a)
Boshlang’ich burchakli tezlikni rad/s - lar orqali aniqlaymiz, yuritma o’chirilguncha

Val aylanishdan to’xtaguncha t=t₁ s vaqt o’tib w₁=0 bo’lgan. Ushbu qiymatlarni (a) formulaning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak,
0=pn/30+et₁ bundan e=-pn/30t₁
Agar t₁ -vaqt ichidagi aylanishlar sonini N - bilan belgilasak (n bilan N-ni aralashtirmaslik lozim; N -aylanishlar soni, n - esa burchakli tezlik). U holda valning burilish burchagi j₁=2pN bo’ladi. Aniqlangan e va j₁ -larning qiymatlarini (a) formulaning birinchi tenglamasiga qo’ysak,
2pN=(pn/30)t₁-(pn/60)t₁=(pn/60)t₁
bundan
N=nt₁/120=30 ayl.
ekanligini aniqlaymiz.
2-masala. Radiusi R=0,6 m bo’lgan maxovik n=90 ayl/min tezlik bilan tekis aylanma harakat qilmoqda. Shu maxovikning gardishidagi nuqtaning tezlik va tezlanishi aniqlansin.
Echish. Maxovikning gardishidagi tezlik v=Rw formula orqali hisoblanadi. Masalada, burchakli tezlik ayl/min -larda berilgan, shu sababli uni rad/s -larga aylantiramiz. U holda w=pn/30=3p va v=R×3p»5,7 m/s.
w=const bo’lgani uchun e=0 va =R×e=0 bo’ladi, shunga ko’ra,

Nuqtaning tezlanish vektori M nuqtadan aylanish o’qiga qarab yo’nalgan bo’ladi.