Mavzu: “Shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Riman teoremasi

Dalamber alomati .Faraz qilaylik,

qator hadlari uchun

limit mavjud bo`lsin.U holda:

1. d <1 bo`lganda , qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi ,

   
   

2. d >1 bo`lganda , qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

   
   

Koshi alomati. Faraz qilaylik ,

qator hadlari uchun

limit mavjud bo`lsin. U holda:

1. K<1 bo`lganda , qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.

   
   

2. K>1 bo`lganda , qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

   
   

2-Teorema (Dirixle- Abel alomati ).
Agar ketma –ketliklardan tuzilgan qator qismiy yig`indilari chegaralangan bo`lsa, y
(4)
va ketma-ketlik monoton kamayib ,
k=1,2,3…. (5)
nolga intilsa,
, (6)
u holda qator yaqinlashadi.
Isbot. simvol orqali qatorning qismiy yig`indilarini belgilaylik. U holda

bo`ladi va shu sababli istalgan nomer uchun

tenglikka ega bo`lamiz.
Demak,

Madomiki, (4) shartga ko`ra , ekan, oxirgi tenglikdan

bahoni olamiz.
(5) monotonlik shartiga asosan Shunday ekan, oxirgi tengsizlik o`ng tomonidagi yig`indi aynan ga teng bo`ladi. Bundan
chiqdi,
(7)
Nihoyat , (6) shartdan foydalansak, (7) tengsizlik chap tomonidagi yig`indining nolga intilishi kelib chiqadi. Demak, Koshi kriteriysiga asosan , (9.3.3) qator yaqinlashar ekan.
Ta`rif. Agar barcha , k=1,2,3,… sonlar musbat bo`lsa,
(8)
ko`rinishdagi qator ishorasi navbatlashgan qator deyiladi .
Teorema (Leybnist alomati). Agar musbat sonlar ketma-ketligi monoton ravishda nolga yaqinlashsa , (8) ishorasi navbatlashgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi .
Isbot. Agar desak va

deb balgilasak, ravshanki, va umuman

n=1,2,3,….
tenglik bajariladi.
Shunday ekan , yig`indilar ketma-ketligi chegaralangan bo`lib, biz 2- teoremani qo`llashimiz mumkin. Bu teoremadan esa (8) qatorning yaqinlashuvchi ekani kelib chiqadi.
Umumiy hoda
(9)
qator
(10)
Qator hadlarining o`rnini almashtirish natijasida hosil bo`lgan bo`lishi uchun natural sonlar quyidagi ikki shartni qanoatlantirishi kerak:

1. agar bo`lsa, bo`ladi ;

   
   

2. istalgan natural n soni uchun tenglikni qanoatlantiruvchi son topiladi.

   
   

Yuqorida shartli yaqinlashuvchi qator yig`indisi uning hadlarini qaysi tartibda qo`shilayotganidan qattiq bog`liq ekani ko`rsatildi.Agar qator absolyut yaqinlashsa, u hadlari o`rnini ixtiyoriy o`zgartirilganda ham yaqinlashadi va bunda uning yig`indisi o`zgarmaydi.Boshqacha qilib aytganda ,absolyut yaqinlashuvchi qator o`rin almashtirish xossasiga egadir.