Mavzu: “Shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Riman teoremasi

Eslatma. Xuddi yuqoridagi usul bilan shartli yaqinlashuvchi qatorni va ga intiladigan ,yoki bo`lmasa umuman limitga ega bo`lmaydigan qilib hadlarini o`rnini o`zgartirish mumkinligi ko`rsatiladi.

5. Riman teoremasi tatbiqiga doir misollar.

Bu qator Leybtnis alomatining barcha shartlarini qanoatlantirgani uchun yaqinlashuvchi. Lekin absolyut yaqinlashuvchi emas.

bu yerda c- Eyler o`zgarmasi.
ekanligidan

Endi ushbu

Qatorni hadlari o`rnini almashtirish orqali uni yig`indisini boshqa songa teng qilish mumkinligini ko`rsatamiz.
qator hadlarini ketma-ket kelgan p ta musbat had gruppasi va q ta manfiy had gruppasi o`rnini almashtirish natijasida yangi hosil bo`lgan qator yig`indisi teng bo`lishini ko`rsatamiz.
Yechish: Ko`rsatilgan tartibda o`rin almashtirish natijasida

qatorni hosil qilamiz. Bu qator yaqinlashishi

(1) qator yaqinlashuvchi bo`lganda yaqinlashadi.
(2)
Bu qator (1) qator hadlaridan (1) qator hadlarini 2 tadan qilib guruhlash natijasida yuzaga kelgan. Agar bu qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (1) ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
p>q bo`lsin.
(3)

qo`shiluvchini (3) ga qo`shib ayirib

asimptotik formuladan foydalanib (3) ni

bu yerda

- qatorning qismiy yig`indilarining juft qismiy ketma-ketligi

Bundan
da ham xuddi shunday natija olish mumkin.

Agar p=2 , q=1 bo`lsa, u holda

Agar p=1, q=2 bo`lsa, u holda

Hadlari ixtiyoriy ishorali
(1.1)
qator berilgan bo`lsin.
Bu qator hadlarining absalyut qiymatlaridan ushbu qatorni tuzamiz.
(1.2)
1.1-ta`rif.Agar (1.2) qator yaqinlashuvchi bo`lsa (1.1) qator absalyut yaqinlashuvchi qator deyiladi.
1.2-ta`rif.Agar (1.1) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (1.2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, (1.1)qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.
1.1-teorema.Agar (1.2) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (1.1) qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
1.2-teorema.Agar (1.1) qator absalyut yaqinlashuvchi bo`lib, ketma-ketlik esa chegaralangan bo`lsa, ya`ni uchun qator absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.

1.3-teorema.Agar ixitoriy ishorali va qatorlar absalyut yaqinlashuvchi bo`lsa, o`zgarmas sonlar uchun

qator ham absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
1.4-teorema. Agar (1.1) qator absalyut yaqinlashuvchi bo`lsa, (1.1) qator hadlarining o`rinlarini almashtirish natijasida tuzilgan

qator ham absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi va uning yig`indisi (1.1) qatorning yig`indisiga teng bo`ladi.

1.5-teorema.Agar (1.1) qator absalyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
(C- o`zgarmas son) qator ham absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
1.6-teorema.Agar (a)
(b)
qatorlar absalyut yaqinlashuvchi bo`lib, ularning yig`indilari mos ravishda , ga teng bo`lsa, ular hadlarining istalgan tartibdagi ko`paytmasidan tuzilgan qator ham absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi, va uning yig`indisi * ga teng bo`ladi.
1.1-eslatma. (1.2) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan (1.1) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishi har doim ham kelib chiqavermaydi.]
1.2-eslatma. Agar (a), (b) qatorlarning biri yaqinlashuvchi, ikkinchisi absalyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda qatorlarni ko`paytirishda Koshi qoidsasi o`rinli bo`ladi:

1.3-eslatma.(a) va (b) qatorlar shartli yaqinlashuvchi bo`lganda, ularning ko`paytmasi uzoqlashuvchi bo`lishi ham mumkin.Masalan,

qatorlarning Leybnis alomatiga ko`ra shartli yaqinlashuvchi ekanligini ko`rsatish qiyin emas.
Bu qatorni Koshi qoidasiga asosan o`zini-o`ziga ko`paytiramiz:

Qavs ichidagi har bir qo`shiluvchi dan katta bo`lganligi uchun bo`ladi.demak ko`paytma qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

2.1-ta`rif.Ushbu (bunda ) yoki qator ishorasi almashinuvchi yoki Leybnis qator deyiladi.
(2.1)
2.1-teorema.(Leybnis alomati) Agar ishorasi almashinuvchi (2.1) qatorning hadlari absalyut qiymati bo`yicha manoton kamayuvchi ya `ni
( ) (2.2)
va
(2.3)
bo`lsa, (2.1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
2.1-eslatma.Abalyut yaqinlashuvchi qatorlar uchun Leybnis alomatining shartlari bajarimasa ham ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvchi bo`lishi mumkin.
2.2-eslatma.Absalyut yaqinlashuvchi bo`lmagan ishorasi almashinuvchi, hadlari manoton kamayuvchi qatorlar yaqinlashuvchi bo`lishi uchun Leybnis alomatidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.
2.3-eslatma.Leybnis alomatidagi uchchala shart ham, ya`ni qatorning hadlarini ishora almashinuvchiligi, absalyut qiymati bo`yicha manotonligi va ularning nolga intilishi absalyut yaqinlashuvchi bo`lmnagan qatorlarning yaqinlashishi uchun muhim shart bo`lib hisoblanadi.Shulardan birortasi buzilsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Bundan keyin, Leybnis alomati shartlarini qanoatlantiruvchi qatorlarni Leybnis tipidagi qatorlar deb ataymiz.
Natija.Leybnis tipidagi qatorlarda uchun quidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi .
2.2-teorema.(Direxli alomati). Agar qatorning qismiy yig`indisi chegaralangan, ya`ni monoton kletma-ketlik bo`lib, ya`ni yoki bo`lsa, (2.2) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
2.3-teorema(Abel alomati). Agar ketma-ketlik monoton va chegaralangan bo`lib qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (2.2) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
2.4-eslatma.Direxli alomatidan xususiy holda Abel alomati kelib chiqadi.
Xulosa.
Xulosa qilib shuni aytish kerakki, kurs ishimni yozishim davomida “Riman teoremasi “ mavzusida yetarlicha bilimga ega bo`ldim. Bu mavzuni o`rganish davomida men quyidagi xulosalarga keldim. Agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda uning hadlari o`rnini ixtiyoriy o`zgartirganda ham qator yaqinlashishini va bunda uning yig`indisi o`zgarmasligini o`rgandim. Boshqacha qilib aytganda, absolyut yaqinlashuvchi qator o`rin almashtirish va guruhlash xossasiga egadir. Lekin, shartli yaqinlashuvchi qatorlar yig`indisi uning hadlarini qaysi tartibda qo`shilayotganiga qattiq bog`liqdir. Buning natijasida shartli qator hadlarini o`rnini o`zgartirish natijasida uning yig`indisi nimaga teng bo`lishi masalasi yuzaga keladi. B. Riman esa o`zining ish faoliyati davomida bu masalani yechishga muvaffaq bo`lgan, ya`ni agar qator shartli yaqinlashsa, uning hadlarini o`rnini o`zgartirish natijasida uni istalgan avvaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkinligini umumiy holda isbot qilgan. Bu kurs ishini yozish davomida men shu xulosalarga keldim.
Turli xil adabiyotlardan foydalanishni o`rgandim va shu adabiyotlardan foydalangan holda mavzuni moxiyatini yoritishga harakat qildim.
Bundan tashqari turli xil ta`rif va teoremalarning isbotini ham tushunib, yetarlicha ko`nikma hosil qildim.