Mavzu: Sonli tengsizliklarni darajaga ko’tarish

Mavzu: Sonli tengsizliklarni darajaga ko’tarish.

8-sinf algebra

@dars_ishlanma_yangi

Agar a>b>0 va n natural son bo’lsa, u holda an>bn bo’lishi kelib chiqadi.

Agar a>b>0 va n natural son bo’lsa, u holda an>bn bo’lishi kelib chiqadi.

Shartga ko’ra a>0, b>0. N ta bir xil a>b tengsizlikni hadlab ko’paytirib, hosil qilamiz: an>bn.

1-masala. (0,43)5 va sonlarini taqqoslang.

• 1-masala. (0,43)5 va sonlarini taqqoslang.
• 0,001 gacha aniqlik bilan 0,428 bo’lgani uchun 0,43 > bo’ladi. Shuning uchun (0,43)5 va .

•  

Chap va o’ng qismlari musbat bo;lgan tengsizlikni istalgan ratsional darajaga ko’tarish mumkin:

Chap va o’ng qismlari musbat bo;lgan tengsizlikni istalgan ratsional darajaga ko’tarish mumkin:

Agar a>b>0, r>0 bo’lsa, u holda

> (1)

bo’ladi;

agar a>b>0, r<0 bo’lsa, u holda

< (2)

bo’ladi.

•  

1-xossani isbotlaymiz.

1-xossani isbotlaymiz.

Avval (1) xossaning r bo’lganda to’g’riligini, keyin esa umumiy hol uchun

r bo’lganda to’g’riligini isbotlaymiz.

•  

Aytaylik, r bo’lsin, bunda n- birdan katta natural son, a>0, b>0. Shartga ko’ra a>b. > ekanligini isbotlash kerak. Faraz qilaylik, bu noto’g’ri, ya’ni bo’lsin. U holda bu tengsizlikni n natural darajaga ko’tarib, ni hosil qilamiz, bu esa shartga zid. Demak, dan > ekanligi kelib chiqadi.

Aytaylik, r bo’lsin, bunda n- birdan katta natural son, a>0, b>0. Shartga ko’ra a>b. > ekanligini isbotlash kerak. Faraz qilaylik, bu noto’g’ri, ya’ni bo’lsin. U holda bu tengsizlikni n natural darajaga ko’tarib, ni hosil qilamiz, bu esa shartga zid. Demak, dan > ekanligi kelib chiqadi.

Aytaylik, bo’lsin, bunda m va n – natural sonlar. U holda shartdan, isbot qilganimizga ko’ra > ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikni m natural darajaga ko’tarib, hosil qilamiz:

> .

masalan, > , chunki 5 > 3; > ,

chunki 2 < 4; chunki 7 > 6.

Endi (2) xossani isbotlaymiz.

•  

Agar r < 0 bo’lsa, u holda –r > 0 bo’ladi. (1) xossaga ko’ra shartdan ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikning ikkala qismini musbat songa ko’paytirib, ni hosil qilamiz, ya’ni

Agar r < 0 bo’lsa, u holda –r > 0 bo’ladi. (1) xossaga ko’ra shartdan ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikning ikkala qismini musbat songa ko’paytirib, ni hosil qilamiz, ya’ni

Masalan, , chunki 0,7 > 0,6; , chunki 13 < 15; , chunki 8 > 7 .

Oliy matematika kursida (1) xossa istalgan musbat r haqiqiy son uchun, (2) xossa esa istalgan manfiy r haqiqiy son uchun to’g’ri ekanligi isbotlanadi. Masalan,

> , chunki > ; > , chunki > .

Qat’iy tengsizliklarni (> yoki < belgili) darajaga ko’tarishning qarab o’tilgan xossalari noqat’iy tengsizliklar ( yoki belgili) uchun ham to’g’ri bo’lishini ta’kidlab o’tamiz.

•  

Shunday qilib, agar tengsizlikning ikkala qismi musbat bo’lsa, u holda uni musbat darajaga ko’targanda tengsizlik belgisi saqlanadi, manfiy darajaga ko’targanda esa tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgaradi.

Shunday qilib, agar tengsizlikning ikkala qismi musbat bo’lsa, u holda uni musbat darajaga ko’targanda tengsizlik belgisi saqlanadi, manfiy darajaga ko’targanda esa tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgaradi.

Qat’iy tengsizliklar uchun > va < belgilari, noqat’iy tengsizliklar yoki belgilari qrama-qarshi belgilar bo’lishini eslatib o’tamiz.

•  

2-masala. Sonlarni taqqoslang:

• 2-masala. Sonlarni taqqoslang:

1) va ; 2) va .

1. <1 va >1 bo’lgani uchun < bo’ladi.

Bu tengsizlikni manfiy ( darajaga ko’tarib, hosil qilamiz: > .

• 2. Darajalarning xossalarini taqqoslaymiz. 0,857 … bo’lgani uchun . 0,86 bo’ladi. Bu tengsizlikni musbat darajaga ko’tarin, quyidagini hosil qilamiz: < .

•