Mavzu: Teyler va Makloren

Termiz davlat unversitute milliy libos va san’at fakulteti yengil sanoat yunalishi 321-guruh 2-kurs talabasi Tangirova Irodaning oliy matematikadan mustaqil ishi

MAVZU: Teyler va Makloren

Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini  ya’ni
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda
shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
artlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x0 ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Bulardan hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va
2-misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x0=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va
lnx= , 0< q <1
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula x-1>-1 bo‘lganda, ya’ni x>0 larda o‘rinli.
8. Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash. Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas M son mavjud bo‘lsinki, argument x ning x0=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f(n)(x)|£M tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda
|Rn(x)|=| |£M×
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument x ning tayin qiymatida =0 tenglik o‘rinli, demak n ning yetarlicha katta qiymatlarida Rn(x) yetarlicha kichik bo‘lar ekan.
Makloren formulasi. Bu funksiyaning (-1;¥) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, funksiyasiga (7) formulani qo‘llab, unda m=-1 deb n ni n-1 bilan almashtirsak, formulani hosil qilamiz.
Ravshanki, f(0)=0, f(n)(0)=(-1)n-1(n-1)! Shuni e’tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz:
(9)
Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko‘ramiz.
1-misol. Ushbu f(x)=e-3x funksiya uchun Makloren formulasini yozing.
Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f’(0),...,f(n)(0) larni topib, 3-§ dagi (10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=ex funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (1) formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada
, 0<q <1,