Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

Misol: A={a,b,c,d} B={m,f} to'plamlar berilgan. Berilgan to'plamlarning Dekart ko'paytmasi n (AxB)=n(A)xn(B) qancha elementni o'z ichiga oladi? Bu masalani quyidagicha ishlaymiz: n(AxB)=n(A)xn(B) n(A)=4 n(B)=2 n(A)xn(B)=4 2=8

1. 
   Boshlang'ich sinf matematikasida kombinatorika fani asosiy o'rin tutadi, chunki ayrim kombinatorik misollar boshlang'ich sinfdanoq echiladi
   

1- sinf darsligidagi quyidagi misolga qaraymiz: Bog'da 5 tup olma bor edi, yana 3 tup olma ekishdi. Bog'dagi olmalar necha tup bo'ldi?

Bu masalani o'quvchi 5+3=8 tarzida echadi.

Ushbu masalani kombinatorik masalalarni echish , ya'ni yig'indi qoidasi tarzida bajarsak, quyidagicha bo'ladi.

A- bog'dagi 5 tup olma

B-yana ekilgan 3 tup olma

AUB- bog'dagi olmalarning necha tupligi

Misol: 10 m chit va 10 m satin sotib olishdi. 12 m matoni ishlatishdi. Necha metr mato qoldi?

Bu masalani yig'indi qoidasiga oid ekanligini tekshiramiz.

A-10m chit

B-10 m satin

C-12 m mato ishlatilgani

(AUB)\C necha metr mato qoldi?

Boshlang'ich sinf o'quvchisiga bu tarzda tushuntirish ancha murakkab bo'lganligi uchun , buni ularga ushbu misol tarzida o'rgatamiz: (10+10)-12=8 (m) - mato qoldi.

Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, hayotdagi juda ko'p masalalar u yoki bu variantlar (kombinatsiyalar)ni qo'llab echiladi, boshqacha qilib aytganda, qulay imkoniyatlardan foydalanib echilar ekan , kombinatorika fani keng qo’llanishga ega. Bu fanning dastlabki tushunchalari boshlang'ich sinflardanoq o'rganiladi, shu sababli, bo'lajak boshlang'ich sinf o'qituvchilari kombinatorika bo'yicha ma'lum bilim , malaka va ko'nikmalarga ega bo'lishi kerak.

Nazorat savollari:

1. 
   Kombinatorika fani nimani o'rganadi?
   
2. 
   Kombinatorikaning yig'indi qoidasi nima?
   
3. 
   Kombinatorikaning ko'paytma qoidasi nima?
   

5. 
   Kombinatorik masalalarning boshlang'ich sinf matematika kursidagi o'mini aytib bering?
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.

2. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
3. 
   Н.Я.Виленкин. Индукция. Комбинаторика. М. «Просвещение». 1976.
   
4. 
   А.Худойберганов. Математика. Т. «Укитувчи», 1980.
   
5. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т.
   

«У китувчи», 1995.

MAVZU: O'RINLASHTIRISH VA O'RINALMASHTIRISHLAR. Reja:

1. 
   Elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar.
   
2. 
   O'rinalmashtirishlar.
   
3. 
   Elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar
   

Tayanch tushuncha va tayanch iboralar: Elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar,elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar, o'rin almashtirishlar, faktorial.

Quyidagi masalani qaraymiz: m-tartibli X to'plamdan uzunligi k ga teng qilib tuzilgan kortejlar soni topilsin.

Bu umumiy masalani echishdan oldin 4-tartibli X={ a,b,c,d} to'plamdan nechta uzunligi 2 ga teng bo'lgan kortejlarni tuzish mumkinligini qaraylik.Mumkin bo'lgan barcha juftliklar quyidagilar :

(a;a); (a;b); (a;c); (a;d);

(b;a); (b;b); (b;c); (b;d);

(c;a) (c;b); (c;c) ; (c;d);

(d;a); (d;b); (d;c); (d;d). demak ,bular 16 ta ekan.

Endi yuqoridagi umumiy masalani echaylik.X to'plam m-tartibli to'plam ekan, n(X)=m dir . Bu masalani echish uchun k dona X to'plamdan iborat to'plamlar dekart ko'paytmasidagi elementlar sonini topaylik.Dekart ko'paytmasi qoidasiga asosan:

n(XxXxXx xX)=n(X)- n(X) ■ n(X)- n(X) ■ n(X)

n(X)=m. Demak ,bu elementlar soni k dona m o'z-o'zining ko'paytmasiga

teng , ya'ni n(XxXxXx xX)=m mm.. ,.m=m^k

Shunday qilib, m -tartibli X to'plamdan uzunligi k ga teng bo'lgan kortejlar soni m^k ga teng

TA'RIF: m- tartibli to'plam elementlaridan ,uzunligi k ga teng qilib tuzilgan kortejlarga, m elementdan k tadan qilib tuzilgan elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar deb aytiladi.Ularning soni esa A^k_m deb belgilanadi .

(A^k_m - frantsuzcha " arrangement"- o'rinlashtirish)

Demak ,

A^km = m^k

Misol: X = { 1,2,3,4,5 } to'plam elementlaridan nechta 2 xonali sonlarni

2 2

tuzish mumkin. A ₅=5 =25

Yuqoridagi elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar formulasi quyidagi masalani echishga olib keladi :

" m- tartibli to'plam X dagi barcha to'plam ostilari soni nimaga teng ?" X to'plam elementlarini nomerlaymiz: X={x_b x₂,x₃,...,x_m} Har qanday A ^ X to'plam uzunligi m ga teng va faqat Ova 1 dan iborat kortej orqali ifodalash mumkin.Agar A to'plamda element mavjud bo'lsa o'sha yerda 1,mavjud bo'lmasa, 0 ni yozamiz:

Masalan: X={x_b x₂, x₃, X4} bo'lsa, A^X, A={ x₂,x4} ni (0,1,0,1) kortej sifatida tasvirlaymiz. Bu paytda yuqoridagi masalamiz," {0;1} to'plam elementlaridan tuzilgan uzunligi m ga teng kortejlar sonini topish" ga keladi.(l) formulaga asosan,bunday ko'rinishdagi kortejlar soni 2^m ga teng bo'ladi .

Misol: X= {a,b,c } to'plam -2 =8 ta to'plam ostiga ega.

TA'RIF : Agar X to'plam elementlari qanday dir tartibda nomerlangan bo'lsa , u holda bunday X-chekli to'plamga tartiblangan to'plam deb aytiladi.

Tartiblangan to'plam tushunchasi kortejlar tushunchasining xususiy holidir. Kortej larda elementlar takrorlanishi mumkin , lekin tartiblangan to'plamda elementlar takrorlanmaydi. Masalan: (a;b, a;c, b;d ) - korteji

tartiblangan to'plam bo'la olmaydi. (a, b , c, d , e , f ) - bu tartiblangan to'plamdir.

Biror bir to'plam elementlarini bir necha usulda tartiblash mumkin. Masalan: Talabalar to'plamini, viloyatlar bo'yicha, bo'ylariga qarab, alfavitga qarab va hakazo , tartibda joylashtirish mumkin.

X to'plam m-tartibli to'plam bo'lsin. Bu to'plam elementlarini necha usulda tartiblash mumkin?

X={xi, x₂, x₃,.x_m} - to'plamdagi xi elementlarni m usulda joylashtirish mumkin, x₂ elementni esa ( m-1) usulda joylashtirish mumkin , .va xokazo xm element faqatgina 1 marta tanlanadi, u holda ko'paytma

qoidasiga asosan , tartiblab chiqish soni m(m-1) ■ 1 ga teng.

1 dan m gacha bo'lgan sonlar ko'paytmasiga m! (faktorial) deb aytiladi.

Masalan: 3!= 1 ■ 2 ■ 3= 6

TA'RIF: m- tartibli tartiblangan to'plamga m elementdan iborat elementlari takrorlanmaydigan o'rin almashtirishlar deb aytiladi. Uning elementlar soni P_m deb belgilanadi. (P_m- frantsuzcha- " permutation" - o’rin almashtirish degan ma’noni anglatadi).

Demak, P_m=m(m-1)- 21=m! (2)

Yuqoridagi (2) formula elementlari takrorlanmaydigan o'rin almashtirishlar sonini topish formulasidir. Bundan tashqari elementlari takrorlanuvchi o'rin almashtirishlar formulasi mavjud: n=ni+n₂+n₃+....+n_k bo'lganda ,

Pn(ni,n2... .nk)= n!/ (ni!n2 !^nk!) (3)

3. 
   Shunday masalani qaraylik: m - tartibli X to'plamda nechta tartiblangan k elementli to'plamni tuzish mumkin?
   

X={x_bx₂,x₃,...x_m} Bu to'plamdan k elementli tartiblangan to'plamlarni

tuzaylik: (x_b x₂,.. .xk); (x_bx₂,.. .x^xk+O ( x_b x₂,.. ,x_mx_m+1)

Bu erda x₁ ni m marta x₂ ni (m-1) marta, x₃ ni (m-2 ) marta va h .k. z.

x_k ni (m-k+1)marta tanlash mumkin.

Demak, m- elementli X to'plamdan k elementli qilib tuzilgan tartiblangan to'plamlar soni:

m(m-1)-... (m-k+1) ga teng bo’ladi.

TA'RIF: m- elementli X to'plamdan k elementli qilib tuzilgan tartiblangan to'plamga m elementdan k tadan qilib tuzilgan elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar deb aytiladi.

Ularning soni A^km deb belgilanadi.

Demak, A^k_m = m(m-1)(m-2)-... (m-k+1)

Yoki

A^k_m =m! /(m-k)! (4)

m=k da A^m_m=P_m= m!, bundan 0!=1 deb shartlashib olingan. Misol:{a,b,c,d} to'plam elementlaridan 3 tadan qilib tuzilgan tartiblangan to'plamlar sonini toping.

A³4=4!/(4-3)!=24

Garchand boshlang'ich sinflarda o'rinlashtirish hamda o'rin almashtirish terminlari ishlatilmasa hamki bu tushunchaga dahldor masalalar, topshiriqlar boshlang'ich sinf darsliklaridan o'rin olgan. Masalan:1) 3,4 , 5 , 6 . raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali , nechta ikki xonali sonlarni tuzish mumkin?

2) 2, 3,4 sonlarini o'rnini necha usulda almashtirish mumkin va hakazo. N A Z O R A T S A V O L L A R I:

1. 
   Elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar ta'rifini keltiring.
   
2. 
   Qanday to'plamlarga tartiblangan to'plamlar deyiladi?
   
3. 
   Elementlari takrorlanmaydigan o'rin almashtirishlar deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar ta'rifini keltiring.
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.

2. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
3. 
   Н.Я.Виленкин. Индукция. Комбинаторика. М. «Просвещение». 1976.
   
4. 
   А.Худойберганов. Математика. Т. «Укитувчи», 1980.
   
5. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т.
   

«У китувчи», 1995.