Mavzu: to`plamlar nazariyasi elementlari reja: To’plam tushunchasi 2

MAVZU: TO`PLAMLAR NAZARIYASI ELEMENTLARI
Reja:
1. To’plam tushunchasi
2. Eyler Venn diagrammasi
3. To’plamlar ustida amallar

Inson ongi olamni alohida “ob`yekt” lardan iborat deb tasavvur 

qiladi, faylasuflar esa antik davrdan buyon olamni ajralmas bir 
butunlikdir deb hisoblashgan.
To‘plаmlаr nаzаriyasiga chex faylasufi va matematik-mantiqchisi
Bernardo Boltsano (1781-1848 yy) va nemis matematiklari Rixard 
Dedekind (1831-1916 yy) hamda Georg Kantor (1845-1918 yy) lar
asos solishdi. Asosan G.Kantorning hizmatlari katta bo`ldi, shuning uchun ham ko`pgina tushunchalar uning nomi bilan bog`liq.
To‘plаmlаr nаzаriyasi – bu matematika minorasining eng kerakli g’ishtlaridan biri bo’lib, matematika singari informatikada ham 
ma’lumotlarni eng qulay tilda ifodalash imkoniyatini beradi. Ushbu 
bo`limda to`plam, to’plamning berilish usullari, to’plamlar ustida 
amallar, to’plamlarni Eyler-Venn diagrammasi orqali tasvirlash, 
to’plamlarni akslantirish, munosabatlar va ularning kompozitsiyasi, 
akslantirishlar va ularning turlari, akslantirishlar superpozitsiyasi, 
to’plamlar nazariyasining aksiomatik tuzilishi haqida so`z boradi. 
Keyinchalik to`plamlar nazariyasi rivojiga ingliz matematigi, 
mantiqchi va faylasuf Al`fred Nort Uaytxed (1861-1947 yy), golland matematigi, hissiy matematika asoschisi Leytzen Egbert yan Brauer (1881-1966 yy), nemis matematigi, fizik va faylasufi German Veyl
(1885_1955 yy), amerikalik matematik, mantiqchi va faylasuf Xaskell Bruks Karri (1900_1998 yy), ingliz matematigi Bertran Rassel (1872- 1970 yy) va boshqalar hissa qo`shdilar. J. Adamar (1865-1963 yy) va A. Gurvitslar 1897 yilda I Xalqaro 
matematiklar kongressida nutq so`zlab, turli matematik jumboqlarni 
yechishda to`plamlar nazariyasining tadbiqlariga doir bir qancha 
misollarni keltirishdiki, natijada to`plamlar nazariyasi matematikani
alohida bo`limi sifatida rasman tan olindi.
Hozirda o’zbek matematiklari ham to’plamlar algebrasi yo’nalishi 
bo’yicha katta izlanishlar olib borishmoqda. O’zFA akademiklari Sh. A. 
Ayupov, Sh. A. Alimov va ularning ko’plab shogirdlari mazkur fanga o’z hissalarini qo`shishmoqda. To‘plаm tushunchаsigа birinchi bo‘lib 1896 yilda G. Kantor tа’rif
bergan: 
Ta`rif: To‘plаm bu birgаlikdа deb idrоk etilаdigаn judа ko‘plikdir.
To`plamlar nazariyasiga kantorcha yondoshishni aksiomatik 
asosda qurilgan nazariyadan farq qilish uchun “nafis to`plamlar 
nazariyasi” deb atala boshlandi.
Atoqli matematik va uslubchi N. N. Luzin (1883-1950 yy) o`zining 
To`plam – bu turlicha ob`yektlarni solish mumkin bo`lgan qop”
ta`riflar edi.
Demak, to`plamlar nazariyasi chekli va cheksiz to`plamlarning 
umumiy xossalarini o`rganuvchi matematikaning bo`limidir. 
Toʻplamlar nazariyasi - matning toʻplamlar umumiy xossalarini oʻrganadigan boʻlimi. Toʻplam tushunchasi mat.ning boshlangʻich tushunchasidir. Toʻplamlar nazariyasi asoschilari chex matematigi B. Boltsano va nemis matematigi G. Kantor. Toʻplamni tashkil qilgan obʼyektlar uning elementlari deyiladi. Agar x element A toʻplamning elementi boʻlsa, u holda x ye A kaby belgilanadi, aks holda x yo A kabi belgilanadi. Agar A toʻplamning elementlari soni chekli boʻlsa, A toʻplam chekli toʻplam, aks holda esa A toʻplam cheksiz toʻplam deyiladi. Mas., 1000 dan kichik juft sonlar toʻplami chekli toʻplamga, haqiqiy sonlar toʻplami esa cheksiz toʻplamga misol boʻladi. Agar A toʻplamning har bir elementi V toʻplamga tegishli boʻlsa, A toʻplam V toʻplamning qism toʻplami deyiladi va A s V kabi belgilanadi. A va V toʻplamlardan kamida bittasiga tegishli elementlar toʻplamiga Ava V toʻplamning birlashmasi (yigindisi) deyiladi va A gʻj V kabi belgilanadi. A va V toʻplamlarning har ikkalasiga tegishli elementlar toʻplami A va V toʻplamlarning kesishmasi (koʻpaytmasi) deyiladi va An V kabi belgilanadi. Agar A va V toʻplam elementlari orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, ularning quvvati teng deyiladi. Agar A tuplam bn natural sonlar toʻplami orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, A toʻplam sanokli toʻplam deyiladi. Toʻplamlar nazariyasi 19-asr oxiri — 20-asr boshlarida rivojlangan boʻlib, mat.ning differensial tenglamalar, ehtimollar nazariyasi, topologiya, funksional analiz, matematik mantiq, funksiyalar nazariyasi sohalarida keng qoʻllaniladi.
To’plamlar nazariyasiga matematik fan sifatida nemis matematigi G.Kantor (1845-1918) tomonidan asos solingan.
Matematikada, shu jumladan, diskret matematika, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli to‘plamlar bilan ish ko'rishga to 'g 'ri keladi. Masalan, kutubxonadagi barcha kitoblar to'plami, to’g’ri burchakli uchburchaklar to'plami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar
Kantor fikricha, istalgan matematik obyekt (shu jumladan, to'plamning o 'zi ham) qandaydir to'plamga tegishli bo'lishi shart. Berilgan xossaga ega bo'lgan barcha obyektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor to'plam deb tushungan edi.
Umuman olganda, to'plam tushunchasiga qat'iy ta’rif berilmaydi, chunki uni boshqa soddaroq tushuncha orqali ifodalab bo'lmaydi. Masalan, to'plamni matematik ibora sifatida tushuntirishda Kantor ham to'plam so'ziga sinonim bo'lgan “majmua” so'zidan foydalangan. Umuman olganda, to'plam so'zining lug'aviy ma’nosiga ko'ra, uni tashkil etuvchilami bir joyga to'plash (yig'ish, jamlash) tushunilsada, matematikada to'plam deganda bunday yig'ish talab etilmaydi, balki bu tashkil etuvchilami birgalikda to'plam sifatida qarash uchun ularning barchasiga tegishli qandaydir ummiy xossaning (belgining) mavjudligi yetarlidir.
EYLER VENN DIAGRAMMASI