Mavzu: To’plamlar va ular ustida amallar. To’plam Buleani. Dekart ko’paytma To‘plamlar ustida amallar

Sana	14.11.2020
Hajmi	0.55 Mb.
	#145089

Bog'liq
1-M to'plamlar ustida amallar

Mavzu: To’plamlar va ular ustida amallar. To’plam Buleani. Dekart

ko’paytma

To‘plamlar ustida amallar. Ko‘pgina amaliy masalalarni tadqiq qilishda turli

diskret (elemenlari soni chekli bo‘lgan) to‘plamlarga duch kelamiz. Masalan, biror

predmetlar to‘plami, ob’yektlar to‘plami, talabalar to‘plami va hokazo. To‘plam

tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo‘lib, unga ta'rif berilmaydi.

“To‘plam” so‘zining sinonimlari sifatida “ob'ektlar jamlanmasi” yoki “elementlar

majmuasi” so‘z birikmalaridan foydalaniladi.

To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida, jumladan, kombinatorika va

graflar nazariyasida, juda muhim o‘ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini

o‘rganish bilan cheklanamiz.

To‘plamlar odatda, lotin alifbosining bosh harflari

ularning elementlarini

esa kichik -

harflar bilan belgilanadi. Biz asosan quyidagi belgilashlardan

foydalanamiz.

Matematik simvollarning ma'nolariga to‘xtalamiz.

belgisi “

a

element

to‘plamga tegishli” ekanligini bildiradi. Bu tasdiqning inkori

shaklda

yoziladi va “

a

element to‘plamga tegishli emas” deb o‘qiladi.

B

A



belgi “

to‘plamning barcha elementlari

B

to‘plamga ham tegishli” ekanligini bildiradi.

Bu holda

to‘plam

to‘plamning qismi deyiladi. Agar

to‘plamlar bir xil

elementlardan tashkil topgan bo‘lsa, u holda ular teng to‘plamlar deyiladi va

B

A



shaklda yoziladi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda

B

A



A

B



munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi.

To‘plamlarning birlashmasi. Har qanday ikkita to‘plamning barcha

elementlaridan, ularni takrorlamasdan, tuzilgan to‘plamga shu to‘plamlarning

birlashmasi (yoki yig‘indisi) deb aytiladi.

Bu ta’riflardan ko‘rinib turibdiki, to‘plamlarning umumiy

elementlari shu to‘plamlarning birlashmasiga faqat bir martadan

kiritiladi. Berilgan to‘plamlarning birlashmasidagi har qanday

element shu to‘plamlarning hech bo‘lmaganda bittasiga tegishlidir.

A

to‘plamlarning birlashmasi

B

A 

kabi belgilanadi. Bu yerda

“

A

to‘plamlarga birlashma amalini qo‘llab (yoki

to‘plamlar ustida

birlashma amali bajarilib),

B

A 

to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin. 1-shaklda

to‘plamlar doiralar ko‘rinishida,

B

A 

to‘plam esa bo‘yab tasvirlangan.

Yuqoridagi ta’rifni quyidagicha ham keltirish mumkin (ushbu qo‘llanmada



hamda



belgilari “va” hamda “yoki” so‘zlariga mos keladi).



, B



, b

a

A

a



A

A

a



A

1.1- shakl





B

x

A

x

x

B

A











to‘plam va to‘plamlarning yig‘indisi yoki birlashmasi deyiladi.

1-misol.

}

{ b

a

A



}

{

c

b

a

B



}

{

k

f

e

C



bo‘lsin. U holda

}

{

c

b

a

B

A

E





}

{

k

f

e

c

b

a

C

E





}

{

k

f

e

c

b

a

B

C





}

{

k

f

e

b

a

C

A





bo‘ladi.

To‘plamlarning_kesishmasi.'>To‘plamlarning kesishmasi. Har qanday ikkita to‘plamning barcha umumiy

elementlaridan tuzilgan to‘plamga to‘plamlarning kesishmasi (yoki

ko‘paytmasi) deyiladi.

Berilgan

to‘plamlarning kesishmasi

B

A 

kabi belgilanadi. Bu yerda “

to‘plamlarga kesishma amalini qo‘llab,

B

A 

to‘plam hosil qilindi” deyish

mumkin.

To‘plamlar kesishmasini quyidagicha izohlash mumkin





B

x

A

x

x

B

A











to‘plam va to‘plamlarning kesishmasi deyiladi.

2-shaklda

A

to‘plamlar doiralar ko‘rinishida,

B

A 

to‘plam esa bo‘yab

tasvirlangan. To‘plamlar ustidagi amallarning yuqorida ta’kidlangan o‘ziga xos

xususiyatlari to‘plamlar ko‘paytmasini (kesishmasini) topishda ham namoyon

bo‘ladi. Masalan,

B

A



bo‘lsa, u holda

A

B

A





va

A

A

B





bo‘ladi.

Bitta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan ikkita to‘plamlarning kesishmasi

bo‘sh to‘plam bo‘lishi tabiiydir. Kesishmasi bo‘sh bo‘lgan to‘plamlar o‘zaro

kesishmaydigan, kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlar esa o‘zaro kesishadigan

to‘plamlar deb ataladi.

2-misol.

}

{

c

b

a

A



}

{

d

c

b

a

B



}

{

k

f

e

C



bo‘lsa, u holda

}

{

c

b

a

B

A

D









C

D 





C

A





C

B 

}

{

c

b

a

B

D





bo‘ladi.

To‘plamlarning ayirmasi. Ixtiyoriy

A

to‘plamlar berilgan bo‘lsin.

to‘plamning

to‘plamda bo‘lmagan barcha elementlaridan tuziladigan to‘plamni

hosil qilish

A

to‘plamdan

B

to‘plamni ayirish deb, tuzilgan

to‘plam esa, shu

to‘plamlarning ayirmasi deb ataladi.

to‘plamdan

to‘plamni ayirish natijasida hosil bo‘lgan to‘plam,

ya’ni

A

to‘plamlarning ayirmasi

B

A \

yoki

B

A



ko‘rinishida

belgilanadi. Bu yerda “

A

to‘plamdan

to‘plamni ayirish amalini

qo‘llab,

B

A \

to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin.

To‘plamlar ayirmasini quyidagicha ham ta’riflash mumkin

A

to‘plamlarning

ayirmasi deb

A

B

A

B

1.3- shakl

1.2- shakl





B

x

A

x

x

B

A









to‘plamga aytiladi.

3-shaklda

A

to‘plamlar doiralar ko‘rinishida,

B

A \

to‘plam esa bo‘yab

tasvirlangan.

Ixtiyoriy

to‘plamlar uchun





B

A 

bo‘lsa, u holda





B





A

B \

bo‘lishi ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.

3-misol. 1-misoldagidek,

}

{ b

a

A



}

{

c

b

a

B



}

{

k

f

e

C



bo‘lsa, u holda





B

}

{

\

c

A

B







C

B \

bo‘ladi.

To‘ldiruvchi to‘plam. Faraz qilaylik,

A

to‘plamlar berilgan va

B

A



bo‘lsin. Bu holda

B

to‘plamning

to‘plamga kirmagan barcha elementlaridan

tashkil topgan

A

B \

to‘plam

A

to‘plamning

B

to‘plamgacha to‘ldiruvchi

to‘plami deb ataladi.

A

to‘plamning

to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plami, odatda,

B

A

ko‘rinishda

belgilanadi. Bu yerda “

B

A

to‘plam

to‘plamni

to‘plamgacha

to‘ldiradi” yoki “

A

to‘plamni

to‘plamgacha to‘ldirish amalini

qo‘llab,

B

A

to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin. 4-shaklda

to‘plam kichik doira,

to‘plam katta doira ko‘rinishida,

B

A

to‘plam

esa bo‘yab tasvirlangan.

To‘plamlar ustidagi yuqorida keltirilgan birlashma, kesishma va to‘ldiruvchi

to‘plam tushunchalari ta’riflarini bevosita qo‘llab,

B

A

A

B









B

A

A 

,

A

A

A

B



B

B

A

A

A



tengliklarni hosil qilish qiyin emas.

4-misol. Barcha juft sonlar to‘plamini

,...}

...,

{

n



(



n

) deb belgilasak,

A

to‘plamni

to‘plamgacha to‘ldirish amalini qo‘llab

,...}

1

2

...,

{





n

A

N

to‘plamni, ya’ni barcha toq sonlar to‘plamini hosil qilamiz. Demak, barcha toq

sonlar to‘plami barcha juft sonlar to‘plamini natural sonlar to‘plamigacha

to‘ldiradi. Xuddi shunga o‘xshash, barcha toq sonlar to‘plamini natural sonlar

to‘plamigacha to‘ldirish amalini qo‘llab, barcha juft sonlar to‘plamini hosil qilish

mumkin.

Ba'zan,

A

to‘plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini kiritish

maqsadga muvofiq bo‘ladi.

B

A \

A

B \

to‘plamlarning birlashmasidan iborat

to‘plamga

A

to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va u odatda

B

A



ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni

)

(

)

(

A

B

B

A

B

A







.

B

1.4- shakl

Bu yerda “

B

A



to‘plam

to‘plamdan

to‘plamni ayirib va

to‘plamdan

to‘plamni ayirib so‘ngra hosil bo‘lgan

to‘plamlar birlashtirildi” deyish mumkin. 5-shaklda

A

to‘plamlarning simmetrik ayirmasi to‘plami

B

A



to‘plam

esa bo‘yab tasvirlangan.

5-misol. 1-misolda qaralgan

A

to‘plamlarning simmetrik ayirmasi

}

B

A





to‘plamdan iborat bo‘ladi.

To‘plam buleani tushunchasi. To‘plamlar nazariyasida bulean tushunchasi

kiritilgan bo‘lib, u muhim tushunchalardan biri hisoblanadi. Berilgan

to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan to‘plam

A

to‘plamning buleani

(

A

to‘plam uchun bulean) deb ataladi.

A

to‘plamning buleani

A

ko‘rinishda belgilanadi.

6-misol. To‘rtta elementga ega

}

{

d

c

b

a

A



to‘plam uchun

bulean o‘n oltita

element-to‘plamlardan iborat bo‘ladi:

{

d

c

d

b

c

b

d

a

c

a

b

a

d

c

b

a

A





}}

{

d

c

b

a

d

c

b

d

c

a

d

b

a

c

b

a

Ravshanki,



A



Kortej tushunchasi. Matemetikada, jumladan, kombinatorika va graflar

nazariyasida, to‘plam tushunchasi bilan bir qatorda kortej tushunchasi alohida o‘rin

tutadi. Turli xossalarga ega bo‘lgan ob’yektlar bilan ish ko‘rganda kortej

tushunchasidan foydalanish mumkin. Kortej tushunchasi yordamida

kombinatorikaning ko‘plab tushunchalari tabiiy ravishda oson anglanadi. Kortej

tushunchasini o‘rganishdan oldin to‘plamning elementlari takrorlanmasligini

eslatib o‘tamiz.

Ixtiyoriy

n

A

A

A

,...,

to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamlarning ixtiyoriy

biridan, masalan,

1

i

A

to‘plamdan qandaydir

1

i

a

elementni,

1

i

A

to‘plamdan boshqa

istalgan

2

i

to‘plamning qandaydir

2

i

a

elementini va hokazo, oxirgi

n

i

A

to‘plamdan

qandaydir

n

i

a

elementni olamiz. Bu elementlarni ularning berilgan to‘plamlardan

olinishi tartibida joylashtirib





n

i

i

i

a

a

a

,...,

tuzilmaga ega bo‘lamiz. Bu tuzilmada

har bir element o‘zining qat’iy joylashish o‘rniga ega. Shunday usul bilan boshqa

tuzilmalarni ham hosil qilish mumkin. Bu tuzilmalarning har biri elementar kortej

(qisqacha, kortej) deb ataladi. Kortejni boshqa usullar yordamida ham tashkil

qilish mumkin. Masalan, faqat bitta to‘plam elementlaridan (hattoki, bu to‘plam

yagona elementli bo‘lsa ham) foydalanib, tarkibida elementlari ko‘p bo‘lgan kortej

A

B

1.5-shakl

tuzish mumkin. Kortejlarni belgilashda, ko‘pincha, lotin yoki grek alifbosining

bosh harflaridan foydalaniladi.

n

A

A

A

,...,

to‘plamlar ixtiyoriy bo‘lgani uchun bu to‘plamlar umumiy elementlarga

ega bo‘lishi ehtimoldan xoli emas. Demak, umuman olganda,





n

i

i

i

a

a

a

K

,...,

kortej tarkibidagi elementlar takrorlanishi mumkin. Berilgan

kortejga

element tegishliligi

K

a



yoki

a

K



ko‘rinishda belgilanadi.

Ba’zi hollarda kortej iborasining o‘rniga vektor yoki, uning uzunligini e’tiborga

olgan holda, juftlik (uzunligi ikkiga teng kortej), uchlik, to‘rtlik va hokazo

n

-lik

(uzunligi

ga teng kortej) iboralari ham ishlatiladi. Uzunligi

bo‘lgan kortej

n

o‘rinli kortej deb ham ataladi. Kortejni tashkil etuvchi elementlar soni, ya’ni

kortejning uzunligi shu kortejning quvvati deb ataladi. Berilgan

kortejning

uzunligi (quvvati)

| K

ko‘rinishda belgilanadi.

Kortej tarkibidagi elementlar takrorlanishi mumkinligidan, ularning kortejda tutgan

o‘rinlari muhim hisoblanadi. Shuning uchun kortejning muayyan elementi nazarda

tutilganda, uning o‘rnini aniqlovchi raqam hisobga olinishi kerak.

Uzunliklari teng bo‘lgan ikkita kortejning mos o‘rinlaridagi elementlari aynan bir

xil bo‘lsagina bu kortejlar teng deb ataladi. Kortejni tashkil qiluvchi elementlar,

uning komponentalari yoki koordinatalari deb ataladi. Ba’zan, kortejni tashkil

qiluvchi elementlar uchun, qisqacha qilib, kortejning elementlari iborasi ham

qo‘llaniladi.

Tabiiyki, uzunliklari teng bo‘lmagan kortejlar teng emas. Kortejlar teng bo‘lishi

uchun ularning mos komponentalari o‘zaro bir xil bo‘lishi shart. Masalan, to‘rt

komponentali





}

{

c

b

a





}

{

c

a

b

kortejlar o‘zaro tengdir,

chunki ularning toq o‘rinlaridagi komponentalari aynan bir xil va juft o‘rinlarida

turgan komponentalari esa to‘plamlar sifatida bir-biriga teng bo‘lgani uchun aynan

bir xildir.

7-misol.

}

{ b

a

X



}

{

d

c

b

Y



}



to‘plamlar uchun ularning berilish

tartibiga (

Z

Y

X

) mos keluvchi hamda har bir to‘plamdan faqat bittadan element

olish sharti bilan tuzilgan barcha elementar kortejlar quyidagilardir:





e

b

a ,





e

c

a ,





e

d

a





e

b

b ,





e

c

b ,





e

d

b

.

To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi. Yuqorida turli tabiatli to‘plamlar

yordamida aniqlanuvchi kortej tushunchasi bilan tanishdik. O‘z navbatida bu

tushunchadan foydalanib to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi tushunchasini kiritish

mumkin.

Tartiblangan

n

A

A

A

,...,

to‘plamlar elementlaridan tuzilgan

n

o‘rinli barcha

kortejlar to‘plamiga shu to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi (qisqacha, Dekart

ko‘paytmasi) deb ataladi.

Ba’zan to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi iborasi o‘rniga to‘plamlarning to‘g‘ri

ko‘paytmasi iborasidan ham foydalaniladi. Tartiblangan

n

A

A

A

,...,

to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi

n

A

A

A



...

yoki





n

i

i

A

ko‘rinishda

belgilanadi, ya’ni

}

,...,

{

...

n

i

A

a

a

a

a

A

A

A

A

i

i

n

n

i

i

n

















To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi tushunchasining aniqlanishida bu

ko‘paytmada qatnashuvchi to‘plamlarning soni ham muhim hisoblanadi. Zarur

bo‘lganda,

ta to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi iborasi o‘rniga

n

o‘rinli

Dekart ko‘paytmasi iborasi ham qo‘llaniladi.

Tabiiyki, agar

n

A

A

A

,...,

to‘plamlarning birortasi bo‘sh to‘plam bo‘lsa, u holda

ulardan foydalanib birorta ham kortej tuzish imkoniyati yo‘q. Demak, tarkibida

hech bo‘lmasa bitta bo‘sh to‘plam qatnashgan

n

A

A

A

,...,

to‘plamlarning Dekart

ko‘paytmasi ham bo‘sh to‘plamdir, ya’ni











n

A

A

A

...

Dekart ko‘paytmasidan to‘plamlar bilan bog‘liq murakkab tuzilmalarni hosil

qilishda va ularda ko‘paytma tushunchasini aniqlashda foydalaniladi. Ammo

bunday hollarda aniqlangan ko‘paytirish amali Dekart ko‘paytmasining

xossalaridan farqli xossalarga ham ega bo‘lishi mumkin. Jumladan, tuzilmalardan

birortasi bo‘sh to‘plam bo‘lsada, ularning ko‘paytmasi bo‘sh bo‘lmagan hollar bor.

To‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasidan foydalanib, to‘plamning

darajasi tushunchasi











marta

...

n

n

A

A

A

A





formula asosida kiritiladi. Masalan,

A

A



,

A

A

A





. Umuman olganda,







n

n

A

A

A

.

n

o‘rinli

n

A

A

A

A





...

n

B

B

B

B





...

Dekart ko‘paytmalari berilgan

bo‘lsin. Agar

B

A



2

B



,…,

n

n

B

A



munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda

Dekart ko‘paytmasi

Dekart ko‘paytmasining qismi deyiladi va

B

A



kabi

belgilanadi.

Download 0.55 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham: