Mavzu: Tutash muhit mехanikasi kinematikasi. Reja: Kirish

3. Minkovskiy fazosi. Ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida Maksvell tenglamalari

=t koordinatalarga javob beruvchi to’rt o’lchovchi metrik Minkovskiy psevdoevklid fazosida kiritamiz, metrikasi ta’rifga ko’ra

(2.8)
Formula orqali beriladi. Bu metrikaning va matrisasi uchun quyidagilarga egamiz

(2.1) va (2.3) ta’riflardan lar

Agarda koordinatalar bilan ixtiyori egrichiziqli koordinatalar sistemasi kiritib ular orasida bog’lanishni.
(i=1,2,3,4) (2.9)
Ko’rinishda olsak, u holda uchun almashtirgan formula quyidagi ko’rinishga ega

(2.2) va (2.4) almashtirilgan Maksvell tenglamalari va (2.5) formularni osongina yozish mumkin agarda miqdorlarni minkovskiy fazosida tenzol va vektorning kompenentalari sifatida qarasak, ya’ni larni yangi sistemada
(2.10)
to’rto’lchovli tenzor electromagnet maydonning tenzor deyiladi, to’rto’lchovli vector vektorli potensial deyiladi. Tenzor analizi formulasi asosida quyidagilarni hosil qilamiz:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.7) to’lqin tenglamalari
(2.14)
shartlar bajarilganda
(2.15)
Bu tenglamalar Minkovskiy fazosida (2.2), (2.4), (2.5), va (2.7) tenglamalarning tenzor ko’rinishida kelib chiqadi, sababi Minkovskiy fazosida sistemada koordinata va vaqt bo’yicha hosilalar kovariant hosilalar bilan mos tushadi, chnki bu sistemada barcha Kristoffel simvollari nolga teng.
Ixtiyoriy koordinatalar sistemasida (2.12) tenglamalarda ning antisimmetrikligidan Kristoffel simvollari qatnashgan hadlar qisqaradi va shuning uchun (2.12) tenglamalarni egrichiziqli koordinatalar sistemasida quyidagicha yozish mumkin:
(2.16)
(2.12) tenglamalarni yoyib yozish mumkin

ning antisimmetrigidan va ning pastki indekslar bo’yicha simmetrikligidan bundan tashqari

Shuning Maksvell tenglamalari (1.11) ning 2-jufti uchun quyidagi shakl o’rinli:
(2.17)
Shunday qilib Maksvell tenglamalarining tenzor shaklda tenzor yordamida ta’rifga ko’ra maxsus kiritilgan 4-o’lchovli Minkovskiy fazosiila yozish mumkin.
Hosil qilingan tenzor tenglamalar yordamida har xil hisob sistemalarida Maksvell tenglamalari hamda magnit va elektr kuchlanganda vektori komponentalari ko’rinishlarini (2.10) va (2.3) tenglik va (2.11) almashtirish formulalari yordamida qarash mumkin.

4.