Mavzu: Vallis formulasi va Lejandr polinomlari

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI






Urganch Davlat Universiteti Fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 212-guruh talabasi Raximberganov Javoxirning Matematik analiz fanidan
KURS ISHI
Mavzu:Vallis formulasi va Lejandr polinomlari.
Topshirdi Raximberganov J.
Qabul qildi Kamolov X.


Urganch-2023


Reja:

1. 
   Kirish:
   
2. 
   Asosiy qism
   

1. 
   Eylerning beta va gamma funksiyalari
   
2. 
   Vallis formulasi
   
3. 
   Lejandr polinomlari:
   
   1. 
      Ta'rif va xususiyatlar
      
   2. 
      Ortogonallik
      
   3. 
      Yaratish funksiyasi
      
4. 
   Vallis formulasi va Lejandr polinomlari orasidagi bog‘lanish
   

3. 
   Xulosa:
   
4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar:
   

Г(p) =e-"x-1dx

(17.3.2)
integralni L. Eyler batafsil o'rgangan. (17.3.1) integral Eylerning beta-funksiyasi yoki Eylerning birinchi tur integrali deb, (17.3.2) integral esa, Eylerning gamma-funksi- yasi yoki Eylerning ikkinchi tur integrali deb ataladi. Bu ikki funksiyani, quyida isbot qilinadigan,
B(p,q) =
Г(р)Г(a)
Г(p +q)
(17.3.3)
klassik formula bog'laydi. Bu formulaga ko'ra, Eyler funksiyalari xossalarini o'rganish uchun faqat gamma-funksiya xossalarini batafsil o'rganish yetarli.
1. Eyler gamma-funksiyasining asosiy xossalari.
1°. Uzluksizligi va differensiallanuvchanligi.
17.3.1 - tasdiq. Eyler gamma-funksiyasi (17.3.2) tenglik bilan istalgan p > 0 uchun aniqlangan.
Isbot. (17.3.2) integral ikki sababga ko'ra xosmasdir, ya'ni yoki integral ostidagi funksiya x = 0 nuqta atrofida chegaralanmagan bo'lgani uchun yoki integrallash intervali chegaralanmagan bo'lgani uchun. Bu integralni ikki
(p) =ea- dx + edx 1
integral yig'indisi ko'rinishida yozib olsak, birinchi integral p > 0 da yaqinlashadi va ikkinchi integral esa, barcha haqiqiy p larda yaqinlashadi. Shunday qilib, gamma-funksiya (17.3.1) tenglik bilan istalgan p > 0 uchun aniqlangan.
Xususan, p = 1 da
Г(1) =e dx = 1.
17.3.2 - tasdiq. Eyler gamma-funksiyasi p > 0 yarim to'g'ri
chiziqda uzluksizdir.
Isbot. E'tibor bering, integral ostidagi
fp(x) = f(x,p) = e-"ap-1
(17.3.4)
funksiya ikki o'zgaruvchining funksiyasi sifatida x > 0 va p > 0 da uzluksiz. Demak, 17.2.4 - teoremaga ko'ra, (17.3.2) xosmas integralning p > 0 yarim to'g'ri chiziqdagi istalgan [a, b] kesmada parametrga nisbatan tekis yaqinlashishini isbotlash yetarli. Shu maqsadda 0 < a S p Sb deylik. U holda istalgan x 2 0 uchun
(17.3.5)
tengsizlik o'rinli; bunda o'ng tarafdagi birinchi had chap tarafni 0 x 1 da yuqoridan baholaydi, ikkinchi had esa, x 2 1 da baholaydi.
Demak, integral ostidagi (17.3.4) funksiya uchun
f(x) = e-abaho o'rinli.
O'ng tarafdagi funksiya p ga bog'liq emas va 0 < x < 00 soha bo'yicha integrallanuvchi. Shunday ekan, (17.3.2) integralning tekis yaqinlashishi Veyershtrass alomatidan kelib chiqadi (17.2.1 - teoremaga qarang).
17.3.3 - tasdiq. Eylerning gamma-funksiyasi p > 0 yarim to'g'-
ri chiziqda cheksiz differensiallanuvchidir. Isbot. Integral ostidagi (17.3.4) funksiya hosilasi
af(,p)e"a Inx
Әр
ga teng. Ravshanki, (17.3.5) tengsizlikka ko'ra, ixtiyoriy 0 < a < b lar uchun a Sp b kesmada tekis ravishda
f(x,p)a(a+a-1)>0
др
baho o'rinli.
Bahoning o'ng tarafidagi funksiya p parametrga bog'liq emas va xosmas ma'noda x > 0 yarim to'g'ri chiziqda integrallanuvchi. Shuning uchun, bu baho va Veyershtrass alomatiga ko'ra,
Г'(p) =eap-1Inx dx
(17.3.6)
tenglikning o'ng tarafidagi integral p parametr bo'yicha a p S b kesmada tekis yaqinlashadi.
Demak, 17.2.6 - teoremaga asosan, formal ravishda differensiallab olingan (17.3.6) tenglik aslida ham o'rinlidir.
Yuqoridagi mulohazalarni so'zma-so'z qaytarib, p > 0 da gamma- funksiyaning m-tartibli hosilasi uchun
r(m)(p) =e-"a"-1(Inx)"" dx
(17.3.7)
tenglikni olamiz. Bunda integral p parametr o'zgarish sohasidagi har bir kesmada tekis yaqinlashadi.
17.3.4 - tasdiq. Eylerning gamma-funksiyasi har bir p > 0 da
Г(р +1) = рГ(р)
(17.3.8)
rekurrent munosabatni qanoatlantiradi. Isbot bo'laklab integrallash formulasidan kelib chiqadi:
(p+1) =eadx = =e"+pea-1dx
Natija. Istalgan natural n uchun
Г(n + 1) = n!
(17.3.9)
tenglik o'rinli.
Г(1) = 1 bo'lgani sababli, agar 0! = 1 desak, bu tenglik n = 0 da ham o'rinli bo'ladi. Bu 0 ning faktorialini 1 ga teng deb kelishish to'g'ri ekanligiga yana bir sababdir.
20. Gamma-funksiyaning grafigini o'rganish.
Eslatib o'tamiz, gamma-funksiya (17.3.2) formula yordamida
p > 0 yarim to'g'ri chiziqda aniqlangan.
1) Bevosita (17.3.2) ta'rifdan gamma-funksiyaning qat'iy musbat ekani kelib chiqadi:
barcha p > 0 larda Г(p) > 0.
Demak, gamma-funksiya nolga aylanmaydi.
2) Agar m = 2 desak, (17.3.7) tenglikdan I"(p) > 0 kelib chiqadi. Shuning uchun gamma-funksiya grafigining qavariqligi pastga qaragan.
3) (17.3.8) munosabatga ko'ra, Г(1) = Г(2) = 1. Roll teoremasiga ko'ra (4.4.1 - teoremaga qarang), 1 < p < 2 intervalda shunday p* nuqta topiladiki, u uchun
Г'(p*) = 0, 1
4) Г"(p) > 0 tengsizlikka ko'ra, birinchi hosila o'suvchi funksiyadir. Demak,
0
p' da T'(p) > 0.
Bundan chiqdi, gamma-funksiya 0 < p < p* intervalda qat'iy kamayadi va p > p* yarim to'g'ri chiziqda qat'iy o'sadi.
5) p* nuqta gamma-funksiyaning munimum nuqtasi bo'lib, bu
nuqtada
0 < Г(р") < 1.
6) Uzluksizlikka ko'ra, p -> 0 da Г(p + 1) = 1 + o(1). Demak,
F(p) Г(p +1) _ 1.[1+0(1)] -> +00, p-> 0 +0. p p
Shunday ekan, ordinatalar o'qi gamma-funksiya grafigiga vertikal asimptota bo'ladi.
7) (17.3.7) rekurrent formuladan, t 2 1 da
Г(t+2) = (t +1)Г(t +1) = (t +1)tГ(t) 2 (t +1)tГ(1) = (t+1)t
tenglik kelib chiqadi. Agar p = t + 2 desak, bundan p > 3 lar uchun
Г(р) 2 (p - 1)(р - 2)
bahoni olamiz. Bu bahodan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
lim Г(р) = +00,
lim p>|
r(p)
Demak, gamma-funksiya grafigi og'ma asimptotaga ega bo'lmas
ekan.
Gamma-funksiya grafigining eskizi 17.4 - rasmda keltirilgan.
П(p)
p
17.4-rasm
30. Matematik tahlilda keng foydalaniladigan ko'plab o'zgarmas kattaliklar gamma-funksiya orqali ifodalanadi. Masalan, (13.8.18) formula bilan kiritilgan kattalikni, ya'ni
2т wn= d01 sin02d02 sin"0n-1d0n-1, n22
sonni qaraylik.
Bu w, kattalik R" fazodagi radiusi 1 ga teng (n - 1) o'lchovli
sfera sirtining yuzasi bilan ustma-ust tushadi.
Sodda hisoblashlar ko'rsatadiki, w2 = 2r va w3 = 4т. Gamma- funksiya yordamida ixtiyoriy o'lchovli fazodagi birlik sfera sirtining yuzasi uchun formula olishimiz mumkin. Buning uchun (14.1.13) formuladan, ya'ni
e-(t…dxidx2…da/
(17.3.10)
pn
tenglikdan foydalanamiz. Chap tarafdagi xosmas integralni, R" fazoni qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligi sifatida
2 = {xER" : || < k}
sharlarni olib, hisoblaymiz.
Sferik koordinatalar sistemasiga o'tib, (13.8.17) formuladan foy-
dalansak,
e-(aitt…tx) dxidx2…dxn = wn
ndr
tenglikni olamiz.
O'ng taraf k -> da quyidagi xosmas integralga intiladi:
Wn
2
wn n-1dr= 2
r()
Demak,
(
e-(x+…+)dx dx2…dxn=
Bu tenglik va (17.3.10) ga ko'ra,
w5) =/2 2
Bundan chiqdi,
wn
27"/2
r(")
(17.3.11)
Eslatma. (17.3.11) tenglikdan n = 3 da
r(2)22
W3
tenglikni olamiz. Lekin, w3 = 4r bo'lgani uchun,
г(2)
2
(17.3.8) munosabatga ko'ra, .Shunday ekan,
oxirgi tenglikdan
(17.3.12)
ko'rinishdagi muhim formula kelib chiqadi.
2. Eyler beta-funksiyasining asosiy xossalari.
17.3.5 - tasdiq. Eyler beta-funksiyasi
B(p,q) =-(1-2)4-1 dx
(17.3.13)
tenglik bilan barcha p > 0 va q > 0 larda aniqlangan. Isbot. (17.3.13) integralni quyidagi
1/2
(1-x)-1 dx =a(1-x)-1 dx+(1-x)- dx
1/2 ikki integral yig'indisi ko'rinishida yozib olamiz. Ravshanki, bu tenglikning o'ng tarafidagi birinchi integral ostidagi funksiya faqat x = 0 nuqtada maxsuslikka ega bo'lishi mumkin. Shuning uchun bu integral p > 0 da barcha haqiqiy q lar uchun yaqinlashadi.
Xuddi shu kabi, ikkinchi integral x = 1 nuqtada maxsuslikka ega bo'lib, q > 0 da barcha haqiqiy p lar uchun yaqinlashadi. Demak, beta-funksiya (17.4.1) tenglik bilan barcha p > 0 va
q > 0 lar uchun aniqlangan.
(17.3.13) integralda o'zgaruvchilarni almashtirish natijasida hosil bo'ladigan, Eyler beta-funksiyasining boshqa ko'rinishlari ham tad- biqlarda ko'p uchraydi. Shunday ko'rinishlardan birini x = sin2 t almashtirish bajarib olish mumkin:
т/2
B(p,q) = 2 sin2p-1t-cos21-1tdt.
(17.3.14)
Ba'zan beta-funksiyani birinchi tur xosmas integral ko'rinishida yozib olish qulay bo'ladi. Buning uchun (0, 1) integrallash intervalini (0, +oo) yarim to'g'ri chiziqqa o'tkazadigan almashtirishdan, masa- 1 lan, x 1 +almashtirishdan foydalaniladi. U holda,
dx
dt
(1 + t)2 1 - x =
t
1 t
Natijada, beta-funksiya uchun barcha p > 0 va q > 0 larda o'rinli bo'lgan
B(p,g) =
19-1 dt (1 + t)p19
(17.3.15)
formulaga ega bo'lamiz. Biz beta-funksiyaning xossalarini batafsil o'rganish o'rniga, quyida keltirilgan klassik formula yordamida, uni yuqorida o'rganilgan Eylerning gamma-funksiyasiga keltiramiz.
17.3.1 - teorema. Har qanday p > 0 va q > 0 lar uchun
B(P,q) Г(p) -г(a)
Г(р + q)
(17.3.16)
ayniyat o'rinli.
Isbot. Ikki o'zgaruvchining
F(x,t) = t9-1apta-1e-(1+t)x
funksiyasini qaraylik.
(17.3.4) belgilashlardan foydalanib, uni
F(x,t) = xfp(x) fp(tx) = = xle="x"-1][e=""(txx)-1]
ko'rinishda yozib olamiz.
(17.2.26) formulaga ko'ra,
F(x, t)dt = at F(x, t)de O
(17.3.17)
Bu tenglikning chap tarafidagi integralni, ichki integralda y = tx almashtirish bajarib, hisoblaymiz:
xe-"ap-1 dae-t(tx)"-1 dt=
ea-dxe-udy = Г(p)(q).
Endi (17.3.17) ning o'ng tomonidagi integralni, ichki integralda y = (1 + t)x almashtirishni bajaramiz, so'ngra (17.3.15) formulani qo'llab hisoblaymiz:
-1dte-(1+0)gupta-1dx=
19-1dt
(1+ t)p4e-ypta-1dy = B(p,q) Г(p+ q)
Bundan, (17.3.17) formulaga ko'ra, talab qilingan (17.3.16) tenglik kelib chiqadi.
(17.3.16) formula yordamida Eyler beta-funksiyasining uzluksiz va differensiallanuvchi ekanligi haqida xulosa qilish va boshqa turli xossalarini o'rnatish mumkin. Masalan, bevosita o'sha formuladan beta-funksiyaning simmetrikligi kelib chiqadi:
B(p,q) = B(q,p).
Yana shu formula orqali turli rekurrent munosabatlarni keltirib chiqarish mumkin. Masalan, (17.3.16) va (17.3.8) formulalarni qo'llab,
Г(p +1)Г(q) рГ(р)Г(q) B(p + 1, q) = = - B(p, q) Г(p + q + 1) (p + q)Г(p + q) p+q
munosabatni olamiz. Demak, istalgan p > 0 va q > 0 lar uchun
B(p + 1, q) =
P B(p, q) p + q
tenglik o'rinli.
(17.3.16) formula yordamida Eyler funksiyalarining ba'zi nuqtalardagi qiymatini ham hisoblash mumkin. Masalan, shu formulaga ko'ra,
Г(1/2 + 1/2)
Boshqa tarafdan, (17.3.14) formulaga asosan,
т/2
в= 2 dt = .
Demak,
[Г(1/2))2 = т
va yana (17.3.12) tenglikka keldik:
(1/2) =