Mavzu: Vektorlar sistemasining chiziqli bog’liqlik va erklilik tariflari. Bazis. Vektorlarni ortogonal bazis bo’yiga yoyilmasi

3. R_n fazoda bazis va koordinatalar. Kanonik bazis

n o`lchovli haqiqiy arifmetik R<sub>n</sub> fazoning bazisi deb, har qanday chiziqli erkli n o`lchovli n ta vektorlarning tartiblangan tizimiga aytiladi. n o`lchovli n ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub> vektorlardan iborat tartiblangan tizim R<sub>n</sub> fazo bazisi va a uning ixtiyoriy vektori bo`lsin. U holda a vektor tanlangan bazis vektorlari bo`yicha ularning yagona chiziqli kombinatsiyasi a = x<sub>1</sub>a<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>a<sub>2</sub> + … + x<sub>n</sub>a<sub>n</sub> ko`rinishida yoyilishi mumkin. x₁, x₂, …, x_n haqiqiy sonlarga a vektorning a₁, a₂, …, a_n bazisdagi koordinatalari deyiladi.

Xususan, haqiqiy koordinatalar tekisligi (R₂) bazisi deb, tekislikda tanlangan ixtiyoriy tartiblangan ikkita nokollinear vektorlarga aytiladi.
R₂ fazoda tanlangan 0 nuqta va a₁, a₂ bazis birgalikda tekislikda Dekart koordinatalari sistemasi deyiladi (1-rasm).

1-rasm 2-rasm

Ixtiyoriy aЄR₂ vektor tanlangan a₁, a₂ bazis vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.

Haqiqiy real uch o`lchovli fazo (R<sub>3</sub>) bazisi deb, unda ixtiyoriy tan-langan uchta tartiblangan nokomplanar vektorlarga aytiladi.
R<sub>3</sub> fazoda tanlangan 0 nuqta va a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> bazis birgalikda fazoda Dekart koordinatalari sistemasi deyiladi (2-rasm). Ixtiyoriy aЄR<sub>3</sub> vektor tanlangan a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> bazis vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.
n-o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo (R<sub>n</sub>) ortogonal bazisi deb, vektorlari juft-jufti bilan o`zaro ortogonal bo`lgan bazisga aytiladi.
R<sub>n</sub> fazo ortonormallangan bazisi deb esa, har bir vektori normallangan ortogonal bazisga aytiladi.
n-o`lchovli n ta e₁(1; 0; …; 0), e₂(0; 1; …; 0), …, e_n(0; 0; …; 1) vektorlardan iborat ortonormallangan bazisga R_n fazo kanonik bazisi deyiladi.
Xususan, i(1; 0), j(0; 1) bazis R₂ fazo kanonik bazisi deyilsa, i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1) bazis esa R₃ fazo kanonik bazisi deyiladi.
Tekislikda (fazoda) ortonormallangan bazisli Dekart koordinatalar sistemasiga to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi (9.3-rasm, 9.4-rasm).

3-rasm 4-rasm

R_n fazoda berilgan ixtiyoriy chiziqli erkli vektorlar sistemasini fazo bazisigacha to`ldirish mumkin.