Mavzu: xarakteristik funksiyalar va har XIL tipdagi taqsimotlar

Ta’rif 1. Haqiqiy qiymatli tasodifiy miqdor ning xarakteristik funksiyasi deb

kompleks qiymatli funksiyaga aytiladi.

Agar taqsimot funksiyasi uzluksiz tipda bo‘lib, zichlik funksiyaga ega bo‘lsa,



bo‘lib, zichlik funksiyasi ning Furye almashtirishidan iborat bo‘ladi. Umumiy holda esa taqsimot funksiyasi ning Furye-Stiltes almashtirishi bo‘ladi. Xarakteristik funksiya har qanday tasodifiy miqdor uchun mavjud bo‘ladi. Bu esa,

ekanligidan kelib chiqadi.

Endi xarakteristik funksiyalarning asosiy xossalarini keltiramiz.

1. 
   Har qanday tasodifiy miqdor uchun
   

va

Bu xossa isbot talab etmaydi.

2. 
   Har qanday tasodifiy miqdor uchun
   

.

Haqiqatan ham,

.

3. 
   Agar bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, yig‘indining xarakteristik funksiyasi
   

.

Bu tenglik matematik kutilmaning bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasi uchun o‘rinli bo‘lgan xossasidan kelib chiqadi.

Haqiqatan ham,

.

Demak, taqsimot funksiyalarni kompozitsiyasiga ko‘paytma mos keladi.

Agar

ekanligini hisobga olsak, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlarni yig‘indisining taqsimotini o‘rganishdagi murakkab bo‘lgan (*) – kompozitsiya operatsiyasi xarakteristik funksiyalar uchun oddiy arifmetik ko‘paytirish amali bilan almashtirish mumkin ekan.

4. 
   Xarakteristik funksiya to‘g‘ri chiziqning har qanday chekli qismida tekis uzluksiz. Haqiqatan ham,
   

.

Endi har qanday haqiqiy uchun o‘rinli bo‘lgan

tengsizlikdan foydalanib, quyidagini yozish mumkin:

.

Oxirgi tengsizlikda oldin ni yetarli katta qilib tanlab, so‘ng ni nolga intiltirib, keltirilgan xossaning isbotini olamiz.

Xarakteristik funksiyaning navbatdagi xossasini keltirishdan avval quyidagilarni izohlab o‘tamiz: Ma’lumki, tasodifiy miqdor ning momentlari mavjud bo‘lishi, unga mos keluvchi taqsimot funksiyasi ning da nolga intilishi tartibiga bog‘liq bo‘ladi. Quyidagi xarakteristik funksiyaning xossasidan kelib chiqadiki, tasodifiy miqdorlarni momentalarini mavjud bo‘lishi, ularning xarakteristik funksiyalarini nol atrofidagi asimptotikasiga bog‘liq bo‘lar ekan.

5. 
   Agar bo‘lsa, tartibli uzluksiz hosilaga ega bo‘lib,
   

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Quyidagi tengsizlik

o‘rinli ekanligidan integral

ga nisbatan tekis yaqinlashadi. Demak, integral ostida differensiallash mumkinligidan

tenglikni yoza olamiz. Keyingi mulohazalar induksiya orqali olib boriladi. Agar uchun

bo‘lsa,

tenglikning o‘ng tomonidagi integral tekis yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Demak,

.

Isbot etilgan xossadan, bo‘lganda, nuqtaning atrofida Teylor formulasi

o‘rinli ekanligini olamiz.

Keltirilgan xossaga teskari bo‘lgan, mavjud bo‘lsa, mavjud bo‘ladi degan jumla qisman o‘rinli: agar mavjud bo‘lsa,

Bu xossani bo‘lgan holda isbotlaymiz (keyin esa induksiyadan foydalanish mumkin). Quyidagi tenglikni yozish mumkin:

Bu tenglikda nolga intilganda limitga o‘tib,

munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda

ekanligidan va Fatu lemmasidan foydalanildi.

6. 
   Agar kompleks son ga qo‘shma bo‘lsa,
   

Oxirgidan xulosa qilish mumkinki, agar tasodifiy miqdor simmetrik bo‘lsa (ya’ni - bilan bir xil taqsimlangan bo‘lsa), uning xarakteristik funksiyasi haqiqiy qiymatli bo‘ladi.

Xarakteristik funksiyaning keltirilgan xossalaridan foydalanib, ba’zi konkret funksiyalar taqsimotning (yoki biror tasodifiy miqdorning) xarakteristik funksiyasi bo‘ladimi degan savolga javob berish mumkin. Masalan, o‘quvchiga

elementar funksiyalardan qaysi biri xarakteristik funksiya bo‘lishini yoki bo‘lmasligini tekshirib ko‘rishni taklif etamiz.

Lekin umumiy holda qo‘yilgan savol juda murakkab hisoblanadi. Quyida biz ma’lum natijalardan birini keltiramiz.