Mavzu: xarakteristik funksiyalar va har XIL tipdagi taqsimotlar

1. “Birlik” taqsimot. Eslatib o‘tamiz, tasodifiy miqdor “birlik” taqsimotga ega deyiladi, agar uning qiymatlari bitta o‘zgarmas sondan iborat bo‘lsa, ya’ni . Bu holda,

.

2. Bernulli taqsimoti. Tasodifiy miqdor

bo‘lsin.

Bu holda,



3. Binomial taqsimot. Tasodifiy miqdor qiymatlari

bo‘lib,

, .

Bu tasodifiy miqdor

va bu yerda lar Bernulli taqsimotiga ega va o‘zaro bog‘liqsiz bo‘lgan tasodifiy miqdorlar. Demak, xarakteristik funksiyaning xossasiga asosan

4. Puasson taqsimoti. Tasodifiy miqdor ning qiymatlari

bo‘lib,

.

Bu holda,

5. Geometrik taqsimot. Bu holda,

va

6. Normal taqsimot. Uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor normal (yoki Gauss) taqsimotga ega deyiladi, agar taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘lsa,

,

parametr, .

Oldin parametri (0,1) bo‘lgan standart normal taqsimotning

(1)

xarakteristik funksiyasini hisoblaylik.

1. 
   tenglikni differensiallab ( bo‘yicha),
   

tenglikni hosil qilamiz va unda bo‘laklab integrallashni amalga oshirsak,

munosabatni olamiz. Demak, standart normal taqsimotning xarakteristik funksiyasi

(2)

differensial tenglamani boshlang‘ich shart bilan qanoatlantirar ekan. Bu tenglamani yechib,

(3)

tenglikni olamiz.

Endi parametri bo‘lgan normal taqsimotning xarakteristik funksiyasini topaylik. Agar deb, xarakteristik funksiyasi (3) bo‘lgan standart normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorni belgilasak, parametri bo‘lgan normal taqsimotga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor ni

ko‘rinishda yozish mumkin. Demak,

formula o‘rinli bo‘ladi.

7. oraliqdagi tekis taqsimot. Bu holda taqsimot uzluksiz tipda bo‘lib, uning zichlik funksiyasi

Mos xarakteristik funksiya

Ba’zi xususiy hollarni eslatib o‘tamiz:

1) bo‘lsa

2) bo‘lsa

.

8. taqsimot. Bu holda zichlik funksiyasi

.

Bu zichlik funksiyasiga mos kelgan xarakteristik funksiyani deb belgilaylik. Oldin quyidagi faktni tasdiqlab o‘tamiz: oson ko‘rinadiki, zichlik funksiya, va funksiyalarning kompozitsiyasidan iborat. Demak,

.

Oxirgi integral Eylerning -integrali nomi bilan ma’lum va u funksiya bilan

munosabatda bo‘ladi. Demak,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

O‘z navbatida

ekanligini olamiz. Oldin bo‘lgan holda,

integralni hisoblaymiz. Bo‘laklab integrallash orqali

tenglikni hosil qilamiz va undan

(5)

bo‘lishini topamiz.

Har qanday uchun (4) va (5) lardan

tenglikni olamiz va ularga asoslanib,

,

tengliklarni yoza olamiz. Demak, har qanday ratsional uchun

(6)

o‘rinli bo‘ladi. Zichlik funksiya parametr ga nisbatan ham uzluksiz funksiya bo‘lgani uchun

va demak,

.

Shunday qilib (6) formula hamma uchun o‘rinli bo‘lishiga ishonch hosil qilamiz. Agar kasr son bo‘lsa, ko‘p qiymatli (6) funksiyadan shartni qanoatlantiruvchi bir qiymatli “shox” ajratib olinadi.