Mavzu: xarakteristik funksiyalarva har XIL tipdagi taqsimotlar

Teorema (Boxner – Xinchin). Uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi funksiya biror taqsimotning xarakteristik funksiyasi bo‘lishi uchun, uning manfiy bo‘lmagan aniqlangan bo‘lishi, ya’ni hamma haqiqiy va kompleks sonlar uchun ( -kompleks sonning qo‘shmasi)

tengsizlik bajarilishi yetarli va zaruriy shartdir.
Qayd qilib o‘tamizki, keltirilgan shartning zaruriyligi oson ko‘rinadi. Haqiqatan ham, bo‘lsa,


Bu paragrafda ehtimolliklar nazariyasida ko‘p uchraydigan taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini hisoblab topamiz.
1. “Birlik” taqsimot. Eslatib o‘tamiz, tasodifiy miqdor “birlik” taqsimotga ega deyiladi, agar uning qiymatlari bitta o‘zgarmas sondan iborat bo‘lsa, ya’ni . Bu holda,
.
2. Bernulli taqsimoti. Tasodifiy miqdor

bo‘lsin.
Bu holda,

3. Binomial taqsimot. Tasodifiy miqdor qiymatlari

bo‘lib,
, .
Bu tasodifiy miqdor

va bu yerda lar Bernulli taqsimotiga ega va o‘zaro bog‘liqsiz bo‘lgan tasodifiy miqdorlar. Demak, xarakteristik funksiyaning xossasiga asosan


4. Puasson taqsimoti. Tasodifiy miqdor ning qiymatlari

bo‘lib,
.
Bu holda,


5. Geometrik taqsimot. Bu holda,

va

6. Normal taqsimot. Uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor normal (yoki Gauss) taqsimotga ega deyiladi, agar taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘lsa,
,
parametr, .
Oldin parametri (0,1) bo‘lgan standart normal taqsimotning
(1)
xarakteristik funksiyasini hisoblaylik.

1. 
   tenglikni differensiallab ( bo‘yicha),
   

tenglikni hosil qilamiz va unda bo‘laklab integrallashni amalga oshirsak,

munosabatni olamiz. Demak, standart normal taqsimotning xarakteristik funksiyasi
(2)
differensial tenglamani boshlang‘ich shart bilan qanoatlantirar ekan. Bu tenglamani yechib,
(3)
tenglikni olamiz.
Endi parametri bo‘lgan normal taqsimotning xarakteristik funksiyasini topaylik. Agar deb, xarakteristik funksiyasi (3) bo‘lgan standart normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorni belgilasak, parametri bo‘lgan normal taqsimotga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor ni

ko‘rinishda yozish mumkin. Demak,

formula o‘rinli bo‘ladi.