Mavzu: Xarakteristik ko’phad

Xarakteristik ko`phad berilgan bo`lsin 𝐺(𝑝) = 𝑎0𝑝 𝑛 + 𝑎1𝑝 𝑛−1 + 𝑎2𝑝 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑝 + 𝑎𝑛 .

Faraz qilamiz 𝑎0 > 0.

Gurvits qoidasini qo`llash uchun dastlab Gurvits matritsasi qurilishi lozim.

Uni quyidagi tartibda qurish mumkin.

1. Matritsaning bosh diagonal xo`jayralariga ko`phadning koeffitsientlari

birinchi indekslidan boshlab joylashtiriladi.

2. Toq satrlarga toq indeksli, juft satrlarga juft indeksli koeffitsientlar

joylashtiriladi. Bunda diagonal unsirdan chap tomonga indekslar kamayib boradi,

o`ng tomonga indekslar ortib boradi.

3. O`lchami 𝑛 × 𝑛 bo`lgan matritsaning bo`sh qolgan xo`jayralari no`llar

bilan to`ldiriladi.

Xarakteristik ko`phadda 𝑝 = 𝑗𝜔 deb qabul qilingan holini Mixaylov chastota tavsifi deb yuritamiz. 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑎0(𝑗𝜔) 𝑛 + 𝑎1(𝑗𝜔) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛=1 (𝑗𝜔) + 𝑎𝑛. Bu kompleks ifodani algebraik shaklda yozish mumkin: 𝐺(𝑗𝜔) = 𝜃(𝜔) + 𝑗𝜂(𝜔), bu yerda 𝜃(𝜔) − Mixaylovning haqiqiy chastota tavsifi; 𝜂(𝜔) − Mixaylovning mavhum chastota tavsifi. Argumentning orttirmasi tamoiliga asosan Δ𝑎𝑟𝑔𝐺(𝑗𝜔) ↑0 ∞= 𝜋 2 (𝑛 − 2𝑚). Bu yerda m – xarakteristik ko`phadning o`ng ildizlar soni. Agar tizim turg`un bo`lsa 𝑚 = 0 va yuqoridagi munosabat Mixaylovning turg`unlik qoidasining analitik ifodasini beradi: Δ𝑎𝑟𝑔𝐺(𝑗𝜔) ↑0 ∞= 𝜋 2 𝑛 . Chastota no`ldan cheksizgacha o`zgarganida G(jω) funksiya kompleks sirtda qandaydir egri chiziqni hosil qiladi. Unga Mixaylov godografi deyiladi.

Xarakteristik ko`phadda 𝑝 = 𝑗𝜔 deb qabul qilingan holini Mixaylov chastota tavsifi deb yuritamiz. 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑎0(𝑗𝜔) 𝑛 + 𝑎1(𝑗𝜔) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛=1 (𝑗𝜔) + 𝑎𝑛. Bu kompleks ifodani algebraik shaklda yozish mumkin: 𝐺(𝑗𝜔) = 𝜃(𝜔) + 𝑗𝜂(𝜔), bu yerda 𝜃(𝜔) − Mixaylovning haqiqiy chastota tavsifi; 𝜂(𝜔) − Mixaylovning mavhum chastota tavsifi. Argumentning orttirmasi tamoiliga asosan Δ𝑎𝑟𝑔𝐺(𝑗𝜔) ↑0 ∞= 𝜋 2 (𝑛 − 2𝑚). Bu yerda m – xarakteristik ko`phadning o`ng ildizlar soni. Agar tizim turg`un bo`lsa 𝑚 = 0 va yuqoridagi munosabat Mixaylovning turg`unlik qoidasining analitik ifodasini beradi: Δ𝑎𝑟𝑔𝐺(𝑗𝜔) ↑0 ∞= 𝜋 2 𝑛 . Chastota no`ldan cheksizgacha o`zgarganida G(jω) funksiya kompleks sirtda qandaydir egri chiziqni hosil qiladi. Unga Mixaylov godografi deyiladi.