Mavzu. Xatoliklar nazariyasi

3. Biz doimo , e, va shunga o`xshash irratsional sonlarning taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida oraliq natijalarda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi, bularni yaxlitlab olishga to`g’ri keladi. Ya`ni masalalarni yechishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yo`l qo’yamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.

3. Biz doimo , e, va shunga o`xshash irratsional sonlarning taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida oraliq natijalarda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi, bularni yaxlitlab olishga to`g’ri keladi. Ya`ni masalalarni yechishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yo`l qo’yamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.

Shunday qilib, to’liq, xato yuqorida aytilgan yo`qotilmas xato, metod xatosi va hisoblash xatolarining yig’indisidan iboratdir. Ravshanki, biror konkret masalani yechayotganda yo’qorida aytilgan xatolarning ayrimlari qatnashmasligi yoki uning ta`siri deyarli bo`lmasligi mumkin. Lekin, umuman olganda, xato to’liq. analiz qilinishi uchun bu xatolarning hammasi hisobga olinishi kerak.

1. Matematika bu tashqi dunyoning geometrik formalari va sonli munosabaatlari haqidagi fandir (Ensikliopediyadan).
Hisoblash matematikasi (hisoblash usullari) fani turli xil amaliy masalalarning modellari bo‘lmish matematik masalalarni taqribiy echish uchun sonli usullar yaratish bilan shug‘ullanadi.
Ixtiyoriy amaliy masalani echish uchun akad.A.A.Samarskiy iborasi bilan aytganda hisoblash eksperimenti o‘tkaziladi. Bu eksperimentning asosiy bosqichlarini quyidagicha tasvirlash mumkin:
modelь→algoritm→dastur→kompьyuter→natija.
Amaliy masala bu biror voqea, jarayondir. Masalaning matematik modeli bu amaliy masalani matematik munosabatlar bilan bayon etib, tipik matematik masala sinfiga keltirishdir. Sinfdan echimi aniq masala tanlanib, masalani echish uchun algoritm tanlanadi. Algoritm asosida kompьyuter uchun dastur tuziladi. Dastur kompьyuterda ishga tushirilib natija olinadi. Natija mavjud echim yoki ma’lumotlar bilan solishtiriladi, ular mos bo‘lsa algoritm ham modelь ham qanoatlanarli deb topiladi.Aks holda amaliy masala yana tekshirilib modelga tuzatishlar kiritiladi va hokazo. Bu jarayon echim etarli aniqlik bilan topilguncha davom etadi.
Hisoblash eksperimenti amaliy masalani echishda nazariy matematika, hisoblash usullari, algoritmlar nazariyasi, dasturlash, EHMning o‘rnini yaqqol tasvirlaydi.
2. Matematik masalani echishda turli xil usullar ishlatilishi mumkin. Agar mumkin bo‘lsa aniq usullar, mumkin bo‘lmasa taqribiy usullar ishlatiladi. Sonli usullar (hisoblash usullari) masala echishning eng kuchli vositalaridan biri hisoblanadi. Sodda hisoblash usullaridan biz ko‘p foydalanamiz. Masalan, kvadrat ildiz chiqarish. SHunday masalalar borki, murakkab hisoblashlarni talab qiladi: ob-havoni bashorat qilish, kosmik kema harakati, ko‘p yillik rejalarni yaratish . Ko‘p hollarda hisoblashlarni tez bajarishga to‘g‘ri keladi. Masalan, sutkalik ob-havo bashorati bir necha soatda hisoblanishi kerak, kosmik kema traektoriyasi bir necha minutda hisoblanishi kerak va hokazo. Zamonaviy hisoblash usullari va EHM lar bunday imkoniyatlarga ega. Hisoblash usullari masalani echish uchun algoritm beradi. Algoritm asosida kompьyuter uchun dastur tuziladi.
Algoritmni asoslash masalani to‘g‘ri echish uchun asos hisoblanadi. Lekin algoritmning bahosini amaliy hisoblashlar bajargandan keyin beriladi. Bir narsaga e’tibor berish kerak. Kompьyuter bilan ishlayotgan foydalanuvchi o‘z algoritmi, dasturini sinchiklab tekshirib chiqishi kerak. Aks holda Piter aytgandek: “Kompьyuter hisoblovchining nochorligini ko‘p martaga oshiradi”, degan hodisa ro‘y berishi mumkin.
3.Murakkab masalalarni echish uchun, algoritmlar yaratish bilan shug‘ullanuvchi matematikaning bo‘limini amaliy matematika deyiladi. Amaliy matematikaning asosiy masalasi echimni berilgan aniqlik bilan topishdir. Klassik matematika echimning mavjudligi, yagonaligi, xossalarini aniqlash bilan shug‘ullanadi.
Amaliy matematika tarixini uch davrga bo‘lish mumkin. Birinchi davr eramizdan 3-4 ming yil oldin boshlangan. Bu davrda yuza, hajmlar, sodda mexanizmlar hisoblangan. Ikkinchi davr I.Nьyutondan (1642-1723 y.y.) boshlangan. Bu davrda astranomiya masalalari, oddiy differensial tenglamalarga, chiziqli tenglamalar sistemasiga olib keluvchi masalalari echila boshlandi. Harbiy masalalar odam bajarishi qiyin bo‘lgan masalalarni echishga undaydi. Uchinchi davr-kompьyuterlar davri-20 asrning 60 yilllaridan boshlanadi. Bu davrda hususiy hosilali differensial tenglamalar, nochiziq tenglamalar va ularning sistemalarini echish usullari paydo bo‘ldi.
4. -aniq son, uning taqribiy qiymati bo‘lsa, ayirma -taqribiy son xatosi, -taqribiy son ning absolyut xatosi deyiladi. Har qanday son taqribiy sonning chegaraviy absolyut xatosi deyiladi. miqdor esa taqribiy sonning nisbiy xatosi deyiladi. bo‘lgani uchun amalda deb olinadi.Har qanday son a taqribiy sonning chegaraviy nisbiy xatosi deyiladi. Demak, ekanligidan Absolyut va nisbiy xato yordamida aniq son ko‘rinishida yoziladi.
miqdorlar biror normalangan X fazoning elementlari bo‘lsa, u holda yuqoridagi ta’riflar quyidagicha o‘zgaradi:

Misol 1. ,
Agar bo‘lsa kami bilan, agar bo‘lsa ko‘pi bilan taqribiy son olinadi.Masalan, uchun, kami bilan, ko‘pi bilan olinmoqda.
Misol 2. son aniqlik bilan yaxlitlansin. Javob, .chunki, .
Misol 3. integral trapetsiyalar formulasi bilan almashtirilsin:

Keyinchalik ko‘ramizki,
Misol 4. funksiya kesmada ta uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin va nuqtalarda - darajali Lagranj ko‘pxadi bilan ustma-ust tushsin:
,
U holda | normada quyidagi bahoni olamiz:
.
Misol 5. Umumiy ko‘rinishda berilgan differensial tenglama aniq echimi ning jadvali ushbu chekli ayirmali sxema echimi bilan almashtiriladi. Unda xatolik sifatida miqdor olinadi va u normada baholanadi, .
YAxlitlash xatosi. ,biror m+n+1 xonali haqiqiy son bo‘lsin. Sonning o‘nli yozuvidagi har qanday 0 dan farqli raqami muhim raqam deyiladi. Ikkita muhim raqamlar orasidagi nollar ham muhim deyiladi, muhim raqam keyinadagi nolь ham muhim raqam deyiladi. Nolga teng bo‘lmagan raqamlar oldidagi nollar muhim bo‘lmaydi. Agar shu yozuvda sonning absolyut xatosi verguldan keyingi n – raqamining bir birligidan oshmasa, (n – raqamining bir birligining yarmidan oshmasa) keng ma’noda m+n+1ta ishonchli raqamlarga ega deyiladi (tor ma’noda m+n+1ta ishonchli raqamlarga ega deyiladi).
Taqribiy son shunday yoziladiki, unda ishonchli raqamlar saqlanadi. Sonni biror raqamining 1 birligigacha aniqlik bilan yaxlitlash (keng ma’noda ishonchli raqamlar saqlash ) uchun shu raqamni o‘ng tamondagi barcha raqamlar o‘chiriladi. Natijada vujudga kelgan son o‘chirilmay qolgan raqamning 1 birligidan oshmaydi.
Sonni biror raqamining 1 birligining yarmigacha aniqlik bilan yaxlitlash (tor ma’noda ishonchli raqamlar saqlash) uchun shu raqamdan o‘ngda to‘rgan raqamlar o‘chiriladi va a) o‘chirilgayotgan raqamlarning birinchisi 5 dan katta bo‘lsa, saqlanayotgan oxirgi raqamga 1 qo‘shiladi, b) o‘chirilgayotgan raqamlarning birinchisi 5 dan kichik bo‘lsa o‘zgartirilmaydi , v) o‘chirilayotgan raqamning birinchisi 5 bo‘lib, qolganlarini ichida 0 dan farqlilari bo‘lsa , oxirgi raqamga 1 qo‘shiladi, g) o‘chirilgayotgan raqamlarning birinchisi 5 va qolganlari 0 bo‘lsa saqlanayotgan son toq bo‘lsa unga 1 qo‘shiladi, juft bo‘lsa qo‘shilmaydi.
Taqribiy sonning limit absolyut xatosi bilan ishonchli raqamlari orasida munosabat mavjud:
(keng ma’noda), (tor ma’noda).
Aksincha, agar sonning limit absolyut nisbiy xatosi ushbu

tengsizlikni qanoatlantirsa, a son tor ma’noda n ta ishonchli raqamga ega.
5. funksiyaning qiymatini x=(x₁,,...,x_n) taqribiy nuqtada hisoblash zarur,
Berilgan: argumentlarning xatoliklari: Topish kerak funkssiyaning xatoliklarini: Bu xatoliklar nazariyasining to‘g‘ri masalasi. Teskari masalada lar beriladi, larni topish kerak.
Echish: funksiyani nuqtaning biror atrofida uzluksiz differensiallanuvchi deylik, shu atrofga tegishli bo‘lsin, Lagranjning chekli orttirmalar formulasiga asosan
c-o‘rta qiymat, ya’ni quyidagi formulalarni yozish mumkin:

.
Teskari masala noaniqdir. Echimlardan biri teng ta’sir prinsipidan topiladi.Umumiy xatolikka barcha argumentlar bir xil hissa qo‘shadi deb qabul qilinadi,ya’ni

Bu bizga quyidagi formulalarni beradi:

Misol 6. Agar , bo‘lsa konus hajmi qanday absalyut va nisbiy xatoliklar bilan hisoblanishini aniqlang.
Echish.Ma’lumki, ekanligi uchun limit absalyut va nisbiy xatoliklar formulasiga asosan: .
Misol 7.To‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini 0,1 limit absalyut xatolik bilan hisoblash uchun uning tomonlarini qanday limit absalyut xatolik bilan hisoblash zarur?, m.
Echish. Ravshanki, .Xatoliklar nazariyasining teskari masalasi formulalaridan topamiz:

6.Hozirgi paytga kelib matematik masalalarni echishni avtomatlashtiruvchi maxsus matematik programmalar mavjud.
Matematik va ilmiy hisoblashlar shaxsiy kompьyuterlarning eng birinchi vazifasi bo‘lib kelgan. Ko‘pincha boshqa fan mutaxassislari kompьyuterda masala echish uchun faqat dasturlash tillaridan birida, masalan, Paskalь, Fortran, Beysik, Delfi, dastur tuzish kerak deb o‘ylashadi.Afsuski, bunday emas. Hozir firmalar tomonidan shunday programmalar ishlab chiqilganki, ularda turli xil masalalarni dastur tuzmasdan echish mumkin. Bunday programmalar hozir shunday ko‘p yaratilganki, ular ximiya, fizika, mexanika, iqtisodiyot, chizmachilik va boshqa sohalarda ham mavjud. Albatta, eng ko‘p tarqalgan -matematik programmalardir.Hozir dunyoda Matchad dan tashqari Matematika, MatLab, Maple, SWP, Derive, TK!Solver kabi programmalar mavjud. Boshqa sohalarda esa:QSP (operatsiyalarni tekshirish), GPSS(modellashtirish), Lat_eX (maqolalar tayyorlash), Visio, AutoCad (mashinasozlik) kabi programmalar mavjud.
Ushbu kursda Matchad programmasi yordamida matematik masalalarni echish parallel o‘rgatilib boriladi.
XULOSA
Kurs ishi oliy ta’lim tizimining barcha bosqichlarida analitik geometriya fanini o‘qitishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalarini o‘rganish, o‘rgatish masalasiga bag‘ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar, ularning samarali natijasi va mavzu bo‘yicha boshlang‘ich ma’lumotlar berildi.
Asosiy qism mavzuni bo‘yicha to‘liq ma’lumotlar keltirilgan bo‘lib yani tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari. To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi haqidagi to‘liq ma’lumotlar keltirildi va mavzuga doir misollar bilan boyitildi.
Xulosa qiladigan bo‘lsam analitik geometriyaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz ularni o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish undagi o‘ziga xos xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim va malakasini tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O‘qituvchining zamon bilan ham nafas bo‘lishi ham bugungi kun talabi.
Shunday ekan biz bo‘lajak pedagoglar o‘qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda vaqtimiz imkonimiz borida o‘qib o‘rganib olishimiz kerak.
Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib, bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo‘lib yetishishimiz va vatanimiz ravnaqiga o‘z hissamizni qo‘shishimiz kerak.