Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari 2-9

§1.1. Eyler Bernulli metodi.

1. 
   tenglamani yechishda bu metodda erkin o’zgaruvchi x ni o’zicha qoldirib, y noma’lum funksiyani esa
   

y=u*v, (1,2) shaklda izlash tavsiya etiladi, bu yerda u va v larning har biri x ning no’malum funksiyasi bo’lib, ulardan biri hozircha ixtiyoriydir: u=u(x), v=v(x),

(1.2) dan hosilani hisoblaymiz
(1.3)
(1.2) va (1.3) ni (1.1) ga qo’ysak
(1.4)
Endi u=u(x) funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
(1,5)
Tenglik bajarilsin. (1.5) tenglama esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, o’zgaruvchilarni ajratib

Bundan esa, integrallash natijasida:
yoki
(1.6)
Biz bu yerda soddaliknuqtai nazaridan ixtiyoriy o’zgarmas sonni kiitmadik.
Endi (1.5) ga asosan, (1,4) tenglama ko’rinishi bunday bo’ladi:

(1.6) tenglik bilan aniqlangan u ning o’rniga ifodasini qo’ysak,
yoki
bundan esa
(C=const), (1.7) (1.6) va (1.7) tengliklarni e’tiborga olib eski o’zgaruvchi y ga (1.2) tenglik bo’yicha qaytsak, natijada (1.1) tenglamaning umumiy integralini quyidagi ko’rinishda hosil qilamiz.
(1.8)
(1.8) umumiy yechimning tuzulishiga qaraganda u ikki kvadraturani talab qiladi.
Agarda (1.8) tenglikdagi kvadraturalarni bajarib, qavsni ochilsa, uning umumy ko’rinishi

bo’ladi. Bundan ko’rinadiki: birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy integrali-integrallash natijasida hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan butun chiziqli funksiyadan iboratdir.
Misol. Ushbu chiziqli tenglama integrallansin:

Bu yerda
Eyler Bernulli metodiga muofiq
y=u*v, (1.10)
deb faraz qilsak bundan

Buni va (1.10) almashtirishi berilgan tenglamaga qo’ysak:

yoki v ning oldidagi koeffisentni nolga tenglashtirilsa,
yoki
yoki u(x)=x. (1.12)
(1.12) ga asosan (1.11) ning ko’rinishi

bo’ladi.Bundan esa

(C=const), (1.13)
(1.12) va (1.13) larni (1.10) ga qo’ysak, (1,9) tenglamaning ushbu ko’rinishdagi umumiy integralini hosil qilamiz:
(C=const), (1.14).