Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari 2-9

§1.2.Lagranj usuli (o’zgarmasni variatsiyalash usuli)
Endi birinchi tartibli chiziqli tenglamani integrallash uchun Lagranj tomonidan taqdim etilgan ixtiyoriy o’zgarmasning variatsiyalash metodini qaraymiz.(1.1) tenglamaga mos birinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani
qaraymiz.
(1.15)
Bu tenglamalani o’zgaruvchilarini ajratsak,
bundan
yoki
(1.16)
Bu yerda C ixtiyoriy o’zgarmasdir.
Lagranj metodini mohiyati shundaki, (1.1) tenglamaning umumiy yechimini (1.16) ko’rinishda izlab, bu yerda C o’zgarmasni “x” ning biror no’malum funksiyasi deb: C=c(x) izlashni tavsiya qilinadi:
(1.17) u holda

(1.18)
(1.17) va ( 1.18) ni (1.1) ga qo’ysak,
yoki
bundan esa
C₁=const, (1.19) c(x) uchun topilgan bu ifodani (1.17) ga qo’ysak, Eyler-Bernulli usuli bilan topilgan (1.1) tenglamani umumiy yechimi uchun hosil qilingan natijani hosil qilamiz:
(1.20)
Misol.
Ushbu,
tenglamani Lagranj metodi bilan yechishni qaraymiz.
Yechilishi:

Bir jinsli tenglamani qaraymiz.

Bundan,

Yoki,
Y=Cx;
Agar C=C(x)-no’malum funksiya desak,
Y=C(x)x₁
y va ning ifodalarini berilgan tenglamaga qo’yamiz, bu holda
Dc=2xdx
Demak, C=x²+C_1, (c₁=const)
Natijada,berilgan tenglamaning umumiy yechimi uchun ushbuni hosil qilamiz
yoki
Endi chiziqli tenglamaning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Chiziqli tenglamani to’liq integrallash uchun ikki kvadratura bajarilishi lozim edi. Lekin agarda tenglamaning biror xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi. Haqiqatda faraz qilaylik,
y=y₁

1. 
   tenglamaning xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni
   

(1.21)
Agarda
(1.22)
Deb faraz qilinsa, (1.1) tenglamaning ko’rinishi
bo’ladi, yoki (1.21) ga asosan
(1.23) bundan,
demak
(1.24),
Buni (1.22) ga qo’yilsa, (1.1) tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi:
(1.25)
Va bu bitta kvadratura bajarishni talab qiladi.
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning birorta xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda uni integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi.
Endi faraz qilaylik, (1.1) tenglamaning ikkita xususiy yechimlari ma’lum bo’lsin. Integrallash bu holda kvadraturasiz bajariladi. Haqiqatda chiziqli tenglama umumiy integralining ko’rinishi
(1.26)
Bo’lgan edi, bunda va
Ma’lum funksiyalar. Faraz qilaylik, y₁ va y₂ xususiy yechimlar C ning C₁ va C₂ qiymatlariga mos kelsin, ya’ni
(1.27)
(1.26) va (1.27) dan
bunda -ixtiyoriy o’zgarmas son, yoki buni y ga nisbatan yechilsa,
(1.28)
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda, uni integrallash kvadraturasiz bajariladi.
II-bob.
Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.