Mavzu: Oshkormas funksiyalarning hosilalarini topish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

Mavzu: Oshkormas funksiyalarning hosilalarini topish

Reja:

1. 
   Giperbolik funksiyalar va ularning hosilalari
   
2. 
   Oshkormas funksiya va uning hosilasi.
   
3. 
   Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan funksiyaning hosilasi.
   
4. 
   Hosilalar jadvali.
   

1. Giperbolik funksiyalar va ularning hosilalari

shx 
_ех _{ е} х
,
2
chx 
_ех _{ е} х
,
2
thx 
_ех _{ е} х _ех _{ е} х ^,
cthx 
_ех _{ е} х _ех _{ е} х ^,

tengliklar yordamida aniqlanadigan funksiyalar giperbolik funksiyalar deb ataladi.
Bunda shx- giperbolik sinus, chx-giperbolik kosinus, thx= ^shx - giperbolik
chx
tangens, cthx= ^chx - giperbolik kotangens deb ataladi.
shx
Bu funksiyalar orasida
ch ² x-sh ² x=1, ch ² x+sh ² x=ch2x,

sh2x=2shx chx, ch ² x=
1

1  th² x

ayniyatlar o’rinli ekanligini tekshirib kurishni o’quvchiga tavsiya etamiz. Endi Shu funksiyalarni hosilalarini topish formulalarini hosil qilamiz.

_ х  х ^
х  х ^
х  х

_{ } е  е ^
е  е 
е  е

shx  _


^ =
2 _
х  х ^
=
2 2
х  х ^ х
= chx,

• 
  х
  

_{ } е  е ^
е  е  е  е


chx  ^ =
 ² 
= = shx,
2 2

thx^
 ^{shx }

 ₌



(shx)^chx - shx(chx)^
₌ ch²x - sh²x ₌ 1 _,


_ chx _
ch²x
ch ²x
ch ²x






cthx ^  ^{ chx } 

(chx)^shx - chx(shx)^

₌ sh² x - ch ² x _{ } 1 _.

_ shx ^
sh²x
sh² x
sh² х

Hisoblashda
(е^х )  е^х , (е^х )  е^х
ekanligidan foydalandik.

Shunday qilib:
(shx)^  chx,
(chx)^  shx , thx^ 


1 _,
сh² x
cthx ^  


1 _.
sh² x

2. Oshkormas funksiya va uning hosilasi

х va у o’zgaruvchilar orasidagi funktsional bog’lanish F(х,у)=0 tenglama bilan berilgan bo’lsin. Agar qandaydir (а, b) intervalda aniqlangan у=f(х) funksiya mavjud bo’lib, u F(х,у)=0 tenglamani qanoatlantirsa, u holda у=f(х) funksiya F(х,у)=0 tenglama bilan aniqlangan oshkormas funksiya deyiladi. Funksiya у=f(х) tenglik yordamida berilganda y oshkor ko’rinishda berilgan deyiladi. Oshkor ko’rinishda berilgan funksiyani у-f(х)=0 ko’rinishda yozilsa y oshkormas ko’rinishda berilganga o’tiladi. Funksiya F(х,у)=0 tenglama yordamida oshkormas shaklda berilganda tenglamani у ga nisbatan yechilsa funksiyaning

oshkor ko’rinishdagi tenglamasi hosil bo’ladi. Ammo bunday o’tish har doim ham oson bo’lavermaydi, ba‘zan esa umuman o’tishning iloji bo’lmaydi.
Shuning uchun oshkormas funksiya hosilasini uni oshkor holga keltirmasdan topish usuli bilan misollarda tanishamiz.

1. 
   misol х²+у²=4 tenglama bilan berilgan funksiyaning y^ hosilasini toping.
   

Yechish. Berilgan tenglamani у ni х ning funksiyasi ekanligini hisobga olgan holda x bo’yicha differensiallaymiz: (х² )^ ’+(у² )^ =4; 2х+2у. y^ =0,

х  у  у^  0 , bundan
у^   ^х .
у

2. 
   misol. у⁴-4ху+х⁴=0 tenglama bilan berilgan funksiyaning y^ hosilasini toping.
   

Yechish. Differesiallaymiz:
4у³  у^  4(х^у  х  у^)  4х³  0 ;
у³  у^  у  ху^  х³ ;

( у³

• 
  х) у^
  

 у  х³ ;
у^ 
у  х³ у³  х

Biz kelgusida oshkormas funksiyaning hosilasini topishga yana qaytamiz.
Shuning uchun bu yerda uni batafsil o’rganib o’tirmaymiz.

3. Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan funksiyaning hosilasi.

^{х  (t),}


^ у   (t)
(1.1)

tenglamalar berilgan bo’lsin. Bu yerda t
Т₁ ,Т ₂
 kesmadagi qiymatlarni qabul

qiladi. t ning har bir qiymatiga х va у ning aniq qiymatlari to’g’ri keladi. Agar x va y ni 0ху koordinata tekisligidagi nuqtaning koordinatalari deb qaralsa, u holda t ning har bir qiymatiga tekislikning ma’lum bir nuqtasi to’g’ri keladi. t ning qiymatlari Т₁ dan Т₂ gacha o’zgarsa, bu nuqta tekislikda biror egri chiziqni chizadi. (1.1) tenglamalar ana shu egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi, t parametr deyiladi.
Bu egri chiziq qandaydir у=f(х) funksiyaning grafigi bo’lsa, u holda у=f(х) funksiya (1.1) parametrik tenglamalari yordamida berilgan deyiladi. х bilan у orasidagi bog’lash (1.1) tenglamalardan t ni yuqotish orqali o’rnatiladi.
Faraz qilaylik, x  t funksiya t  x teskari funksiyaga ega bo’lsin.
U holda t  x ni (21.1) ning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak у ni х ning

funksiyasi sifatida aniqlaydigan

tenglikka ega bo’lamiz.

у=[Ф(х)] yoki у=f(х)

Shunday qilib (1.1) tenglamalar qandaydir у=f(х) funksiyani aniqlar ekan.
3–misol: М₀(х₀ ,у₀) nuqtadan o’tib s^→  m i^→  n ^→j yo’naltiruvchi vektorga
ega to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari yozilsin.

Yechish. Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi
х  х₀
m
_ у  у₀
n

ko’rinishga ega ekanligi ma‘lum.
х  х₀
m
 t, ^{у  у0}  t n
deb belgilasak х-х₀=mt,

у-у =nt yoki ^{х  х0  mt,} to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari hosil

^{0 } у  у

• 
  nt
  

 0
bo’ladi.

4. misol.

^{х  RCost,}


^у  RS int


(0  t  2 ,


R  0)

tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz.
Tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak
х²+у²=R²cos²t+R²sin²t= R²(cos²t+sin²t)=R²
yoki х²+у²=R² hosil bo’ladi. Bu markazi koordinata boshida bo’lib radiusi R ga teng aylananing kanonik tenglamasi ekani ma‘lum.

4. misol.

^{х  а cos t,}


^у  bsin t, (0  t  2 , а  0,


b  0)

tenglamalar ellipsning kanonik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. Tenglamalarni birinchisini а ga, ikkinchisini b ga bo’lib ularni


^{ х}  cos t, а

y



^  sin t
 b
ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak

_х2  _у2

 cos² t  sin² t  1

yoki
_х2  _у2 

_а2 _b2
1
_а2 _в2

ellipsning kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz.

4. misol.

^{х  асht,}


^ y  bsht.

tenglamalar giperbolaning parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz (а>0, b>0).

Tenglamaning birinchisini а ga ikkinchisini b ga bo’lsak
^х  сht,
а
^y  sht b
hosil

bo’ladi. Bu tenglamalarning kvadratga ko’tarib birinchi tenglamadan ikkinchisini hadlab ayirsak

_х2  _у2

 ch²t  sh²t  1

yoki
_x 2  _y 2 


giperbolaning kanonik tenglamasiga

1
_а2 _b2 _a 2 _b2

ega bo’lamiz.
Endi parametrik tenglamalari

^{х  (t),}


^ у   (t)

bilan berilgan funksiyaning hosilasini

topish uchun formula chiqaramiz.(t) ,
 t 
funksiyalar differensiallashuvchi

hamda x=(t) funksiya t=ф(х) teskari funksiyaga ega deb faraz qilamiz. U holda

у   (t), t  ф(х)
argument.
bo’lgani uchun у х ning murakkab funksiyasi bo’ladi, t-oraliq

Shu sababli murakkab funksiyani hosilasini topish formulasiga binoan

y ^  y ^  t ^
(1.2)

x t x

bo’ladi. Teskari funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra
t ^ 
¹ , bo’lgani

x
uchun buni (1.2)ga qo’ysak


y ^ 



x




y

x

t

x


y ^  ¹  ^t
t t
x _
e

hosil bo’ladi.

Shunday qilib,


y
 _{ t}

(1.3)

x
y_{x }
t

x
parametrik tenglamalari bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish formulasini hosil qilamiz.