Метод координат на плоскости величина направленного отрезка проекция вектора на ось декарт

- Исследовать использование «метода координат» при решении геометрических задач;

- установить какой из методов решения лучше;

- освоить координатный метод решения задач.

1. 
   Сущность метода координат
   

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.
Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.
В некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

2. Метод координат на плоскости

2.1. Аффинная система координат на плоскости.

Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е₁, Е₂}.
Рассмотрим тогда векторы: е₁= ОЕ₁ и е₂ = ОЕ₂ (рис. 1). Поскольку точки О, Е₁, Е₂, не лежат на одной прямой, поэтому векторы е₁ и е₂ не коллинеарны, следовательно, они образуют базис совокупности V₂ всех векторов плоскости. Таким образом, мы приходим к упорядоченной тройке R={О, е₁, е₂}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов е₁ и е₂.
О братно если дана упорядоченная тройка R={О, е₁, е₂}, состоящая из точки О и двух неколлинеарных векторов е₁ и е₂, то от неё легко перейти к тройке R={О, Е₁, Е₂}, отложив векторы е₁ и е₂ от точки О и взяв соответственно концы этих векторов Е₁ и Е₂: е₁= ОЕ₁ и е₂ = ОЕ₂. Ясно, что точки О, Е₁, Е₂, не будут лежать на одной прямой, так как векторы е₁ и е₂ не коллинеарны.
Таким образом, мы приходим к выводу, что задание на плоскости системы координат как упорядоченной тройки точек R={О, Е₁, Е₂}, не лежащих на одной прямой, равносильно заданию её как упорядоченной тройки R={О, е₁, е₂}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов е₁ и е₂. В результате в геометрическую картину, составленную из точек, вводятся векторы.
Первая точка О в системе координат R называется началом системы координат, а векторы е₁ и е₂ – её базисными или координатными векторами. Прямая ОЕ₁ с направляющим вектором е₁ называется координатной осью Ох, или осью абсцисс, а прямая ОЕ₂ с направляющим вектором е₂ называется координатной осью Оу, или осью ординат.
Пусть на плоскости задана система координат R={О, е₁, е₂} и произвольная точка М. Вектор ОМ = r_м называется радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).
Определение. Координатами точки М в системе координат R={О, е₁, е₂} называются координаты её радиус-вектора ОМ в базисе е₁, е₂, то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)_R  ОМ = хе₁+ уе₂.
Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек – с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.
Векторы а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор ОМ. Координаты вектора ОМ называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если ОМ = (х, у), то пишут: М (х, у).
Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М₁ и М₂ (рис. 2).
Тогда имеем ОМ = ОМ₁ + ОМ₂.
С другой стороны, ОМ = хе₁+ уе₂.
Следовательно, х =ОМ₁ / е, у = ОМ₂ / е₂.
Точки Е₁ и Е₂ имеют координаты: Е₁ (1; 0), Е₂ (0;1).
Если на плоскости даны две точки А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), то координаты вектора АВ вычисляются так: