Metoda uvol ň ování metoda redukce
Download 478.15 Kb. Pdf ko'rish
|
|
v,a M M R e·cos φφφφ εεεε
M M φφφφ
R F a e φ ⋅ ⋅ − = ε ⋅
e R
I F R a m − = ⋅
Vačka koná rotační pohyb, zvedátko posuvný pohyb. Dynamika II, 9. p ř
metoda uvol ň
Z obou pohybových rovnic vyloučíme vazbovou sílu R
( )
⋅ ⋅ − = φ ⋅ ⋅ ⋅ + ε ⋅ φ ⋅ ⋅ + ⋅ − = ε ⋅ φ ⋅ ⋅ − = ε ⋅ cos cos cos cos e F M e a m I e F a m M I e R M I F R a m − = ⋅ F a m R + ⋅ =
φ ⋅
ω − φ ⋅ ⋅ ε = sin cos e e a 2
( )
⋅ ⋅ − = ω ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − ε ⋅ φ ⋅ ⋅ + cos cos sin cos e F M e m e m I 2 2 2 2 Další řešení se již značně liší podle toho jakého druhu je řešená úloha. Připomeňme : Úloha 1. druhu - kinetostatická. Pohyb je definován, řeší se neznámé silové účinky. Úloha 2. druhu - dynamická. Síly jsou dány, řeší se pohyb. φφφφ
F ω,ε
ω,ε ω,ε
ω,ε v,a M M e Dynamika II, 9. p ř
metoda uvol ň
( )
⋅ ⋅ − = ω ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − ε ⋅ φ ⋅ ⋅ + cos cos sin cos e F M e m e m I 2 2 2 2 Pohybová rovnice : Úloha 1. druhu - kinetostatická. Dáno : φφφφ
, ω ω ω ω
εεεε
F
Vypočtěte : M
Z pohybové rovnice snadno odvodíme : ( ) 2 2 2 2 e m e m I e F M ω ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − ε ⋅ φ ⋅ ⋅ + + φ ⋅ ⋅ = cos sin cos cos
0 9 0
1 8 0
2 7 0
3 6 0
4 5 0
5 4 0
6 3 0
7 2 0
- 1 0 0
1 0 0
2 0 0
R [ N ] M [ N · m ] φφφφ
[ º ] 0
Jedná se o algebraický výraz, jenž lze vyčíslit, ev. převést do grafické podoby např. v tabulkovém editoru. Např. pro ω ω ω ω =konst , εεεε
=0 a F=konst
vychází následující průběh. φφφφ
F ω,ε
ω,ε ω,ε
ω,ε v,a M M e Dynamika II, 9. p ř
metoda uvol ň
( )
⋅ ⋅ − = ω ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − ε ⋅ φ ⋅ ⋅ + cos cos sin cos e F M e m e m I 2 2 2 2 Pohybová rovnice : Úloha 2. druhu - dynamická. Dáno : F
M
φφφφ
= φφφφ
(t) , ω ω ω ω = ω ω ω ω (t)
, εεεε
= εεεε
(t) . Pohybovou rovnici upravíme na diferenciální rovnici : ( ) φ ⋅ ⋅ − = φ ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − φ ⋅ φ ⋅ ⋅ + cos cos sin cos e F M e m e m I 2 2 2 2 & & & ( )
t φ = φ Plnohodnotné řešení je tzv. řešení v uzavřeném tvaru : ???????????????????? Toto řešení se nám však nepodaří nalézt (diferenciální rovnice je II. řádu, nelineární a, jednoduše řečeno, značně složitá). Můžeme nalézt numerické řešení. To v době stolní výpočetní techniky není žádný zvláštní problém. Výsledek ale nemá podobu funkčního předpisu ale podobu tabulky hodnot. t φφφφ ω
ω ω ω εεεε v a R Tabulku lze samozřejmě převést do grafické podoby. φφφφ
F ω,ε
ω,ε ω,ε
ω,ε v,a M M e Dynamika II, 9. p ř
metoda uvol ň
Pohybová rovnice : Úloha 2. druhu - dynamická. Dáno : F
M
φφφφ
= φφφφ
(t) , ω ω ω ω = ω ω ω ω (t)
, εεεε
= εεεε
(t) . Alternativní řešení spočívá v tom, že místo výrazů : ( ) φ ⋅ ⋅ − = ω ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − ε ⋅ φ ⋅ ⋅ + cos cos sin cos e F M e m e m I 2 2 2 2 dt d φ = ω a 2 2 dt d φ = ε
φ ω
ω = ε d d
diferenciální rovnice I. rádu : ( ) φ ⋅ ⋅ − = ω ⋅ φ ⋅ φ ⋅ ⋅ − φ ω ⋅ ω ⋅ φ ⋅ ⋅ + cos cos sin cos e F M e m d d e m I 2 2 2 2 Otázka jejího řešení ať už v uzavřeném tvaru (zde ω ω ω ω = ω ω ω ω ( φφφφ ) ) nebo řešení numerického (tabulka hodnot) však zůstává otevřená. V každém případě je výsledkem závislost na poloze, nikoliv na čase. φφφφ
F ω,ε
ω,ε ω,ε
ω,ε v,a M M e Dynamika II, 9. p ř
skute č
náhrada metoda redukce Zatímco metoda uvolňování nepřináší žádnou novou myšlenku, je založena pouze na vhodném kombinování poznatků ze statiky, kinematiky, dynamiky a matematiky, metoda redukce představuje novou myšlenkovou kvalitu. Podstatou metody redukce je náhrada. Původní, skutečnou úlohu, úlohu dynamiky soustavy těles (mechanismu), nahradíme jinou úlohou, úlohou dynamiky jednoho tělesa. Dokonce tělesa, konajícího jeden ze dvou nejjednodušších pohybů - posuvný nebo rotační. Náhrada ovšem musí být navržena tak, aby řešení náhradní úlohy bylo totožné s řešením skutečné, původní úlohy. Mezi skutečností a náhradou tedy musí být „styčné body“. Jak uvidíme, tyto styčné body jsou tři. Dynamika II, 9. p ř
r 3 I 2 , r 2 I 1 , r 1 ω ω ω ω
x,v,a M G x,v,a m red F red ω ω ω ω
metoda redukce redukce na posuvný pohyb Postup jako obvykle vysvětlíme na příkladu. Skutečnost : Soustava těles je tvořena poháněcí kladkou o momentu setrvačnosti I 1
poloměru r 1 , rotující úhlovou rychlostí ω ω ω ω 1 . Dále dvojitou převáděcí kladkou o momentu setrvačnosti I 2
r 2
r 3
ω ω
ω 2
zanedbatelné hmotnosti a konečně břemenem o hmotnosti m
v
a
M
G
m Náhrada : Na fiktivní, ve skutečnosti neexistující těleso o tzv. „redukované hmotnosti“ m red , pohybující se rychlostí v
a
F red . skute č
náhrada Dynamika II, 9. p ř
r 3 I 2 , r 2 I 1 , r 1 ω ω ω ω
x,v,a M G x,v,a m red F red ω ω ω ω
metoda redukce redukce na posuvný pohyb m Pohybová rovnice náhradní úlohy jakož i její řešení ... ... bude zároveň pohybovou rovnicí a řešením skutečné úlohy. skute č
náhrada (Musí však existovat ony již zmíněné tři „styčné body“.) Dynamika II, 9. p ř
r 3 ω ω ω ω
M G m red F red ω ω ω ω
redukce na posuvný pohyb metoda redukce I 1 , r 1 I 2 , r 2 m x,v,a x,v,a Prvním styčným bodem je kinematika : Dráha x
v
a
jako dráha x
v
a
skute č
náhrada Skutečnému tělesu na skutečné soustavě, s jehož kinematickými parametry (dráhou, rychlostí a zrychlením) ztotožníme kinematické parametry náhradního, fiktivního tělesa, říkáme „člen redukce“. Podle toho, zda člen redukce koná posuvný nebo rotační pohyb, mluvíme o redukci na posuvný pohyb nebo o redukci na rotační pohyb. Dynamika II, 9. p ř
r 3 ω ω ω ω
M G m red F red ω ω ω ω
redukce na posuvný pohyb metoda redukce I 1 , r 1 I 2 , r 2 m x,v,a x,v,a Druhým styčným bodem je kinetická energie : Kinetická energie E K náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, jako kinetická energie E K skutečné soustavy těles. 2 red 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 k v m v m I I E ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ω ⋅ ⋅ + ω ⋅ ⋅ = skute č
náhrada skute č
náhrada Po doplnění kinematických poměrů 3 2 r v = ω 1 2 3 1 r r r v ⋅ = ω se rychlost v
pro redukovanou hmotnost m red . Dynamika II, 9. p ř
r 3 ω ω ω ω
M G m red F red ω ω ω ω
redukce na posuvný pohyb metoda redukce I 1 , r 1 I 2 , r 2 m x,v,a x,v,a Druhým styčným bodem je kinetická energie : Kinetická energie E K náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, jako kinetická energie E K skutečné soustavy těles. skute č
náhrada Po doplnění kinematických poměrů 3 2 r v = ω 1 2 3 1 r r r v ⋅ = ω se rychlost v
pro redukovanou hmotnost m red . 2 3 2 2 3 1 2 1 red r 1 I r 1 r r I m m ⋅ + ⋅ ⋅ + =
ř
r 3 ω ω ω ω
M G m red F red ω ω ω ω
redukce na posuvný pohyb metoda redukce I 1 , r 1 I 2 , r 2 m x,v,a x,v,a Třetím styčným bodem je výkon : Výkon P
F red
musí být stejný, jako výkon P
skute č
náhrada Po doplnění kinematických poměrů 3 2 r v = ω 1 2 3 1 r r r v ⋅ = ω se rychlost v
pro redukovanou sílu F red . v F v G M P red
1 ⋅ = ⋅ − ω ⋅ =
č
ř
|
