Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt
Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.
Пример 7. ∫x√x-5dx
Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t2+5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:
∫x√x-5dx=∫(t2+5)•2tdt=∫(2t4+10t2)dt=2∫t4dt+10∫t2dt=
Пример 8.
Так как , то имеем
Пример 9.
Пример 10. ∫e-x3x2dx
Воспользуемся подстановкой -x3=t. Тогда имеем -3x2dx=dt и ∫e-x3x2dx=∫et(-1/3)dt=-1/3et+C=-1/3e-x3+C
Пример 11.
Применим подстановку 1+sinx=t , тогда cosxdx=dt и
Метод непосредственного интегрирования
Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.
Пример 1.
∫(1-√x)2dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=
Пример 2.
Пример 3. ∫sin2xdx
Так как sin2x= (1-cos2x), то
∫sin2xdx= (1-cos2x)dx= ∫dx- ∫cos2xd(2x)= x- sin2x+C
Пример 4. ∫sinxcos3xdx
Так как sinxcos3x= (sin4x-sin2x), то имеем
∫sinxcos3xdx= ∫(sin4x-sin2x)dx= ∫sin4xd(4x)- ∫sin2xd(2x)=- cos4x+ cos2x+C
Пример 5. Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx
∫cos(7x-3)= ∫cos(7x-3)d(7x-3)= sin(7x-3)+C
Пример 6.
Do'stlaringiz bilan baham: |