Методы интегрирования

Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt
Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.
Пример 7. ∫x√x-5dx
Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t²+5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:
∫x√x-5dx=∫(t²+5)•2tdt=∫(2t⁴+10t²)dt=2∫t⁴dt+10∫t²dt=
Пример 8. 
Так как  , то имеем

Пример 9. 
Пример 10. ∫e^-x3x²dx
Воспользуемся подстановкой -x³=t. Тогда имеем -3x²dx=dt и ∫e^-x3x²dx=∫e^t(-1/3)dt=-1/3e^t+C=-1/3e^-x3+C
Пример 11. 
Применим подстановку 1+sinx=t , тогда cosxdx=dt и 
Метод непосредственного интегрирования
Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.
Пример 1.
∫(1-√x)²dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=
Пример 2.

Пример 3. ∫sin²xdx
Так как sin²x= (1-cos2x), то
∫sin²xdx= (1-cos2x)dx= ∫dx- ∫cos2xd(2x)= x- sin2x+C
Пример 4. ∫sinxcos3xdx
Так как sinxcos3x= (sin4x-sin2x), то имеем
∫sinxcos3xdx= ∫(sin4x-sin2x)dx= ∫sin4xd(4x)- ∫sin2xd(2x)=- cos4x+ cos2x+C
Пример 5. Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx
∫cos(7x-3)= ∫cos(7x-3)d(7x-3)= sin(7x-3)+C
Пример 6.