Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование[править | править код]

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)[править | править код]

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл ∫�(�)��.  Сделаем подстановку �=�(�),  где �(�)  — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда ��=�′(�)⋅��  и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
∫�(�)��=∫�(�(�))⋅�′(�)��.Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида �(�(�))  интегрируется следующим образом:
П∫�(�(�))��=∫�(�(�))�(�(�))�(�(�))/��=∫�(�(�))�(�(�))��′.ппапиаиример: Найти ∫��−3��
Решение: Пусть �−3=� , тогда �−3=�2,�=3+�2,��=2��� .
∫��−3��=∫(�2+3)�⋅2���=2∫(�4+3�2)��=2∫�4��+6∫�2��=25�5+63�3+�=25�−35+2�−33+�Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля
�=�(�2+��+�)��,применяемая для вычисления интегралов вида
∫��(�2+��+�)�2,где m натуральное число^[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций[править | править код]

Пусть требуется проинтегрировать выражение �(sin⁡�,cos⁡�) , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

• 
  если �(−sin⁡�,cos⁡�)=−�(sin⁡�,cos⁡�) , то применяется подстановка �=cos⁡� ^[2];
  
• 
  если �(sin⁡�,−cos⁡�)=−�(sin⁡�,cos⁡�) , то применяется подстановка �=sin⁡� ^[2];
  
• 
  если �(−sin⁡�,−cos⁡�)=�(sin⁡�,cos⁡�) , то применяется подстановка �=tg⁡� ^[3].
  

Частный случай этого правила:
∫sin�⁡�⋅cos�⁡�⋅��
Выбор подстановки производится следующим образом:

• 
  если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку cos⁡�=� ;
  
• 
  если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку sin⁡�=� ;
  
• 
  если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку tg⁡�=� .