Методы интегрирования

Пример: �=∫sin2⁡�⋅cos⁡�⋅�� .
Решение: Пусть sin⁡�=� ; тогда cos⁡�⋅��=��  и �=∫�2��=�33+�=sin3⁡�3+� , где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома[править | править код]

Основная статья: Дифференциальный бином
Для вычисления интеграла от дифференциального бинома
�=∫��(�+���)���,
где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• 
  �  — целое число. Используется подстановка �=�� , �  — общий знаменатель дробей �  и � ;
  
• 
  �+1�  — целое число. Используется подстановка �+���=�� , �  — знаменатель дроби � .
  
• 
  �+�+1�  — целое число. Используется подстановка ��−�+�=�� , �  — знаменатель дроби � .
  

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях^[4].

Интегрирование по частям[править | править код]

Основная статья: Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
∫�⋅��=�⋅�−∫�⋅��.∫�⋅�′⋅��=�⋅�−∫�⋅�′⋅��.В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл
Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что �=ln⁡�⇒��=���  и ��=���⇒∫��=∫���⇒�=�22 , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем ∫�⋅ln⁡���=�2ln⁡�2−12∫�2⋅���=�2ln⁡�2−�24+�

Интегрирование рациональных дробей[править | править код]

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь �(�)�(�) , знаменатель которой разложен на множители
�(�)=∏�=1�(�−��)��⋅∏�=1�(�2+���+��)��можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
�(�)�(�)=∑�=1�∑�=1�����(�−��)�+∑�=1�∑�=1�����+����(�2+���+��)�где ���,���,���  — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Пример: ∫2�+3�2−9��.
Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
2�+3�2−9=2�+3(�−3)(�+3)=�(�−3)+�(�+3)Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
�(�+3)+�(�−3)=2�+3
(�+�)�+3�−3�=2�+3