Методы интегрирования

Метод интегрирования по частям
Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f(x)dx=u(x)⋅v'(x)dx=u(x)⋅d(v(x)) после чего применяется формула ∫u(x)⋅d(v(x))=u(x)⋅v(x)−∫v(x)⋅d(u(x))∫ Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.
Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.
Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u(x).В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.
Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.
Если мы интегрируем степенное выражение вида sin7x⋅dxsin7 или dx(x2+a2)8, то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.
Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.


Метод интегрирования по частям
Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:
∫udv=uv-∫vdu
где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.
Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe^-2xdx
Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e^-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe^-2xdx=- e^-2x+C
Следовательно по формуле имеем:
∫xe^-2xdx=x(- e^-2x)-∫- ^-2dx=- e^-2x- e^-2x+C
Пример 13. ∫(x²+2x)cos2xdx
u=x²+2x, du=(2x+2)dx, dv=cos2xdx, v=∫cos2xdx= sin2x
∫(x²+2x)cos2xdx= (x²+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx
u=x+1, du=dx, dv=sin2xdx, v=- cos2x
(x²+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx= (x²+2x)sin2x+ (x+1)cos2x+ sin2x+C