Методические указания и примерные задания для выполнения самостоятельных работ 1-тема. Определённый интеграл,свойства. Площадькриволинейной трапеции

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ


1-тема.Определённый интеграл,свойства. Площадькриволинейной трапеции
Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .
Определение.Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .
Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение.Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство , т.е. .
Определение.:Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:
.
Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования.
В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции .
Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .
Определение:Суммы:

и

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения. Пусть предел интегральной суммы (1) при стремлении maxx_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a, b], обозначается , а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], т.е.
при этом число, а называется нижним пределом, число b – его верхним пределом, функция f(x) – под интегральной функцией, выражение f(x)dx –под интегральным выражением. Задача нахождения называется интегрированным функции f(x) на отрезке [a, b].