Методические указания и примерные задания для выполнения самостоятельных работ 1-тема. Определённый интеграл,свойства. Площадькриволинейной трапеции

Пример. Вычислить
Решение.


Замена переменной. Интегрирование по частям
Теорема 1. Пусть функция (t) имеет непрерывную производную на отрезке [, ], a=(), b=(), a(t) b и функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда справедливо следующее равенство
(1)
формула (1) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Теорема 2. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда
(2)
где
формула (2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример. Вычислить .
Решение. Используем метод интегрирования по частям Тогда,
_{Вычисление площадей плоских фигур.}
Пусть на отрезке [a,b] заданы непрерывные функции y=f(x) и y=g(x) такие что f(x)g(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f(x) и y=g(x) на отрезке [a, b] вычисляется по формуле

Если криволинейная трапеция примыкает к оси Oy то, в этом случае >0 , и и в этом случае площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: .
В полярных системах координат площадь сектора кривой вычисляется по формуле: .
Вычислениедлиныдуги
1. кривая. Длина дуги вычисляется по формуле:

2. кривые, тогда длина дуги вычисляется по формулеi:

3. кривая. В этом случае длина дуги вычисляется по формуле:

Объём тела вращения

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке и, .Тогда объём тела, образованный вращением вокруг оси пространства при и вычисляется по формуле:
Аналогично вращение вокруг оси Oy даёт нам следующую формулу для вычисления объёма: