Методическое пособие по выполнению контрольных работ для студентов иифо

Контрольная работа № 2

Неопределенный и определенный интегралы

2.1. неопределенный интеграл

2.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Во многих задачах науки и техники приходится восстанавливать функцию по известной производной.

Определение 1.1. Функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если на этом промежутке функция непрерывна и выполняется равенство

Отыскание для функции всех ее первообразных называется интегрированием и составляет одну из задач интегрального исчисления. Действия дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными.
Определение 1.2. Совокупность всех первообразных для функции на заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

Функция называется подынтегральной функцией, а – подынтегральным выражением.
Любая ли функция имеет первообразную?
Ответ на этот вопрос дает основная теорема интегрального исчисления (теорема Коши).
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, она имеет непрерывную первообразную функцию.

4.1.2. Таблица интегралов

1.  2.  , 3.  4.  5.

4.1.3. Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Если существуют интегралы и , то неопределенный интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопре-деленного интеграла
, – const.
Если существует , то справедливы равенства:

1. 
   
   
2. 
   
   
3.