Методическое пособие по выполнению контрольных работ для студентов иифо

Пример 2.3
Вычислить:





Задание к подразделу 2.1

Найдите интегралы:

10.

2.1.5. Интегрирование по частям

Если подынтегральное выражение представлено произведением функций вида:

,

где – многочлен, то такие подынтегральные функции интегрируются по частям
Формула интегрирования по частям:
.

.

.

.

.


Пример 2.4
Вычислить:









Задание к подразделу 2.1

Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

2.1.6. Интегрирование рациональных дробей

Дробь вида:

,
где и – рациональные многочлены степени и .
Если , то дробь называется неправильной, если , то дробь – правильная.
Если под интегралом дробь неправильная, то необходимо выделить целую часть, т. е. представить ее в виде суммы целой части и правильной дроби, а затем выполнять интегрирование.
Рассмотрим интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей методом сравнения коэффициентов. Затем привести к общему знаменателю.


Пример.5
Вычислить интеграл:

Представить дробь в виде суммы простейших дробей методом сравнения коэффициентов:

где и – неопределенные коэффициенты.

Дроби равны, знаменатели дробей равны, следовательно, равны числители, т. е.

,
^{т. е. .}
приравняем коэффициенты при и при , получаем систему:

Таким образом, данная дробь представлена как сумма двух простейших дробей:

.


Задание к подразделу 2.1

Вычислить интеграл:

2.2. Определенный интеграл

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Обозначается:
,
где а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования.

2.2.1. Основные свойства определенного интеграла

1.

2.
3. Постоянный множитель С можно выносить за знак определенного интеграла:
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если отрезок a, b разбит точкой с на две части a, с и с, b, то

Определенный интеграл вычисляется с помощью формулы Ньютона–Лейбница:

Эта формула выражает определенный интеграл от непрерывной функции.


Пример 2.6
Вычислить:





Задание к подразделу2.2

Вычислить:

1.
2.

3.

4.

5.

6.
7.
8.
9.
10.

2.2.2. Замена переменной в определенном интеграле

Вычислить

_{Для вычисления такого интеграла требуется ввести новую переменную} тогда .
Новые пределы интегрирования вычисляются следующим образом:




Пример 2.7
Вычислить:

2.2.3. Вычисление определенного интеграла по частям

Вычисление определенного интеграла по частям выполняется следующим образом

Пример 4.10

2.3. Вычисление площадей плоских фигур

Геометрическое толкование определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, графиком функции и прямыми и .

Пример 2.11




_{Рис. 8}
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , осью Ох, прямыми , .
Решение
Сделаем чертеж (рис. 8).

Если фигура ограничена графиками функций прямыми и , то площадь вычисляется следующим образом:

Задача 2.12
_{Найти площадь фигуры, ограниченной линиями} , .

Рис. 9
_{Решение}

Сделаем чертеж (рис. 9).
Найдем точки пересечения параболы и прямой.
Для этого надо решить систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений:

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой А (–1; 5) и В (2; 8).

Значения х = –1 и х = 2 являются пределами интегрирования:

Задача 2.13

Рис. 10

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
_{Решение}
Сделаем чертеж (рис. 10).
Найдем точки пересечения параболы и прямой.

Для этого надо решить систему уравнений

Приравняем правые части уравнений:

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой А (–1; 0) и В (6; 11).

Значения х = –1 и х = 6 являются пределами интегрирования:

Контрольные вопросы к подразделам 2.1–2.3

1. 
   Неопределенный интеграл, его свойства.
   
2. 
   Интегрирование заменой переменной.
   
3. 
   Формула интегрирования по частям, виды интегралов, которые вычисляются по этой формуле.
   
4. 
   Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница.
   
5. 
   Интегрирование определенного интеграла заменой переменной и по частям.
   
6. 
   Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла, нахождение пределов интегрирования, построение подынтеграль­ной функции.
   

Задание к подразделу 2.3

Вычислить площадь, ограниченную линиями: