Методика обучения темы:"Многогранники и их простые сечения " в 10 классе курса геометрии

Понятие многогранника и его элементы

.1 Понятие многогранника

«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.

Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.
Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.
Понятие выпуклости - одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.




Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников

Многогранники обладают следующими свойствами:

. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.
. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.
. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.
. Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой всех своих вершин, то есть наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.
Докажем одно из них.
Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В - точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F - выпуклый многоугольник.



Рис. 1.2.


Виды многогранников


.1 Призма


Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.
Многоугольники А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n (рис. 2.1)называются основаниями, а параллелограммы - боковыми гранями призмы. Отрезки А₁В₁ и А₂В₂ называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призма с основаниями А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n обозначают А₁А₂… А_n В₁В_2…В_n и называют n - угольной призмой. На рисунке изображены треугольная и шестиугольная призмы, т.е. параллелепипед.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.



Рис. 2.1. Призма


Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма.


2.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь S_полн. полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверхности и S_осн основания призмы формулой:


S_полн. =S_бок +2S_осн.


Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, S_бок= Ph.
Доказательство:
Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, S_бок= Ph.
Теорема доказана.


.2 Пирамида


Многогранник, составленный из n - угольника А₁А₂…А_n и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2). Многоугольник А₁А₂…А_n называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА_1, РА_2,…РА_n - ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А₁А₂…А_n и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂…А_{n -} и называют n - угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида - это тетраэдр.



Рис. 2.2. Пирамида


Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.
Свойства поперечных сечений пирамиды:





. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:
ü боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;
ü в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;
ü площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их расстояний от вершины пирамиды: S₁:S₂=X₁²:X₂²
. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.


.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней. Тогда, S_полн. = S_бок + S_осн.
Многоугольник, гранями которого является n - угольники А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n четырехугольников А₁А₂В₁В₂, А₂А₃В₃В₂ ..., называется усеченной пирамидой (рис. 2.3).



Рис. 2.3.


Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ (ABCD - нижнее основание, а A₁B₁C₁D₁ - верхнее основание).
Высота усеченной пирамиды - отрезок прямой,
перпендикулярный основаниям и заключенный
между их плоскостями.
Усеченная пирамида правильная, если ее основания - правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.
Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:





2.3 Параллелепипед



Рис. 2.4.


Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы (рис.2.4). Параллелепипед, боковые ребра которого
перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае - параллелепипед называется наклонным.
Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба - равные квадраты.
На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) - прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани - прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.
Некоторые свойства параллелепипеда:
ü У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.



Рис. 2.5. Параллелепипед.


Доказательство

Рис. 2.7.


ü Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (рис. 2.7), то есть: d₁² + d₂² + d₃² + d₄² = 4b² + 4c²
ü Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d² = a² + b² + c²




Рис. 2.8.


A₁C² = AC² + AA₁²


но AC - это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD² . Кроме того, AA1=CC1, следовательно,


A₁C²=AB²+AD²+CC₁².


Теорема доказана.
Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:


d₁² = a² + b² + c² + 2abcos ά₂²=a²+b²+c²-2abcosά


ü В параллелепипед можно вписать тетраэдр.
Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.


V = 1/6 d₁d₂ p(d₁,d₂) sin (d₁,d₂)


2.3.1 Площади боковой и полной поверхности параллелепипеда
Площадь боковой поверхности (или просто боковая поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма площадей всех ее боковых граней. Площадью полной поверхности (или просто полная поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма ее боковой поверхности и площадей оснований


S_полн = 2 ( ab + ac + bc ).