Microsoft Word boshlangich sinflarda matematik tushunchalarni umumlashtirish uslublari

Misol. Monte-Karlo metodi. Bizdan, qandaydir uzluksiz g(x) funksiya uchun
integralni hisoblash talab qilinayotgan bolsin. [0;1] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin.
U holda
Mg( =
va kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan, 1 ehtimol bilan
Mg(
deb ta’kidlashimiz mumkin.
Shunday qilib, integralni taqribiy hisoblash algorilо
mini keltirib chiqarish uchun katta sonlar qonuni nazariy asos vazifasini bajaradi

Chebishev tengsizligi

Teorema (Chebishev ). A gar X tasodifiy miqdor D X dispersiyaga ega bolsa, u holda > 0 uchun quyidagi tengsizlik o'rinli:
(1)
tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. ehtimollik X tasodifiy miqdorning [ ; ] oraliqqa tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda . U holda

chunki integrallash sohasini ko'rinishda yozish mumkin. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak,

Chebishev tengsizligini quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin:
(2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun o'rinli. Xususan, X tasodifiy miqdorlar binomial qonun bo'yicha taqsimlangan bo'lsin,
. U holda
hám (1) den
(3)
n ta bog 'liqsiz tajribalarda ehtimolligi , dispersiyasi
bo'lgan hodisaning chastotasi uchun,
(4)
X tasodifiy miqdorni [ ; ) oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov tengsizligi beradi.
Teorema(Markov). Manfiy bolmagan, matematik kutilmasi MX
chekli bolgan X tasodifiy miqdor uchun da
(5)
tengsizlik orinli.
Isboti. Quyidagi munosabatlar orinlidir:

(5) tengsizlikdan (1) di ason keltirip chiqarish mumkin.
(6)
Markaziy limit teorema
Markaziy limit teorema tasodifiy miqdorlar yigindisi taqsimoti va uning limiti normal taqsimot orasidagi boglanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.
Teorema. bogliqsiz, bir xil taqsimlangan, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bolsin, u holda,

tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi.
(1)
Demak, (1) ga kora yetarlicha katta n larda
yigindi esa quyidagi normal qonun boyicha taqsimlangan boladi:
Bu holda tasodifiy miqdor asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
Agar X tasodifiy miqdor uchun bolsa X tasodifiy miqdor markazlashtirilgan va normallashtirilgan (yoki standart) tasodifiy miqdor deyiladi. (1) formula yordamida yetarlicha katta n larda tasodifiy miqdorlar yigindisi bilan bogliq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin.
tasodifiy miqdorni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda
yamasa
Misol. bogliqsiz tasodifiy miqdorlar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bolsa, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping va
ehtimollikni hisoblang.
Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y tasodifiy miqdorning
zichlik funksiyasi

boladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan

boladi. U holda

soniń ushin
formulaga kore,