Microsoft Word boshlangich sinflarda matematik tushunchalarni umumlashtirish uslublari

R ,

Z ,

cheklangan makon.

(Bu natija Maharam teoremasini eslatadi .)
Borel bo'shliqlari sifatida qaralsa, haqiqiy chiziq R , R ning sanaladigan to'plam bilan birlashishi va R ⁿ izomorfdir.
Standart Borel maydoni Polsha makoniga bog'langan Borel maydonidir . Standart Borel fazosi izomorfizmgacha o'zining kardinalligi bilan tavsiflanadi ^[3] va har qanday son-sanoqsiz standart Borel fazosi kontinuumning kardinalligiga ega.
Polsha bo'shliqlarining kichik to'plamlari uchun Borel to'plamlari Polsha bo'shliqlarida aniqlangan doimiy in'ektsion xaritalar diapazonlari bo'lgan to'plamlar sifatida tavsiflanishi mumkin. Shuni yodda tutingki, doimiy bo'lmagan xarita diapazoni Borel bo'lmasligi mumkin. Analitik to'plamga qarang .
Standart Borel maydonidagi har bir ehtimollik o'lchovi uni standart ehtimollik maydoniga aylantiradi. Lusin ^[4] tufayli Borel bo'lmagan reallarning kichik to'plamiga misol quyida tasvirlangan. Bundan farqli o'laroq, o'lchovsiz to'plamning misolini ko'rsatish mumkin emas, lekin uning mavjudligi isbotlanishi mumkin. Har bir irratsional son cheksiz davomli kasr bilan yagona tasvirga ega {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac { 1}{\ddots \,}}}}}}}}}qayerda{\displaystyle a_{0}}ba'zi bir butun va boshqa barcha raqamlardir{\displaystyle a_{k}}musbat butun sonlardir . Mayli{\displaystyle A}ketma-ketliklarga mos keladigan barcha irratsional sonlar to'plami bo'lsin{\displaystyle (a_{0},a_{1},\nuqtalar)}quyidagi xususiyatga ega: cheksiz pastki ketma- ketlik mavjud {\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\nuqtalar)}Shunday qilib, har bir element keyingi elementning bo'luvchisi bo'ladi. Bu to'plam{\displaystyle A}Borel emas. Aslida, bu analitik va analitik to'plamlar sinfida to'liq. Qo'shimcha ma'lumot olish uchun tavsiflovchi to'plam nazariyasiga va Kechris kitobiga qarang , ayniqsa 209-betdagi Mashq (27.2), 169-betdagi Ta'rif (22.9) va 14-betdagi (3.4) (ii) mashqlari.
Shuni ta'kidlash kerakki, ayni paytda{\displaystyle A}ZFda tuzilishi mumkin, faqat ZFda Borel bo'lmaganligini isbotlab bo'lmaydi. Aslida, bu ZF bilan mos keladi{\displaystyle \mathbb {R}}sanaladigan to'plamlarning sanaladigan birlashmasi bo'lib, ^[5] ning istalgan kichik to'plami{\displaystyle \mathbb {R}}Borel to'plamidir.
Borel bo'lmagan boshqa to'plam - bu teskari tasvir{\displaystyle f^{-1}[0]}cheksiz paritet funksiyasi {\displaystyle f\kolon \{0,1\}^{\omega}\to \{0,1\}}. Biroq, bu aniq misol emas, mavjudlikning isboti (tanlov aksiomasi orqali).