Министерство высшего и средного специального образования республики узбекистан

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 журнальных статьях, в 23 работах в сборниках научных трудов и тезисах международных и республиканских конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 195 страниц и состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы из 212 наименований.
2. Основное содержание работы


Во введении дан обзор работ по численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, обоснована актуальность проведенных в диссертации исследований, изложено их основное содержание.
В первой главе диссертации даны разработка и обоснование спектрально-сеточного метода (ССМ) для анализа устойчивости математических моделей гидродинамических систем общего вида, так как исследования устойчивости многих гидродинамических потоков подпадают под этот класс уравнений.
В первом параграфе дано описание метода. Метод излагается применительно к линейному дифференциальному уравнению - го порядка:
(1)
при линейных однородных краевых условиях
. (2)
Рассматриваемый интервал интегрирования [-1,1] разбивается на частей: где - заданное число. Приближенное решение задачи (1) - (2) на интервалах , , ищется в виде линейной комбинации различного числа полиномов Чебышева первого рода :
, , , (3)
где , , -длина -го интервала, - номера приближений (т.е. количество полиномов) на -м интервале . В точках разбиения налагается требование непрерывности решения (3) и удовлетворения краевым условиям (2):
(4)
Коэффициенты приближенного решения определяются из условия ортогональности оператора полиномам Чебышева до номера с весом на интервале :
, (5)
где .
Во втором параграфе доказаны теоремы о сходимости приближенного решения, полученного ССМ (4) - (5), к точному решению дифференциальной задачи (1) - (2) и дается оценка скорости сходимости метода. Для формулировки основных теорем введем функции
, (6)
тогда получаем
, ,
конечномерное пространство векторов ,
,
a также гильбертово пространство вектор-функций, где со скалярным произведением таким же, как и в , т.е.
.
Определим проекторы
В этих обозначениях задача (4) - (5) эквивалентна операторному уравнению второго рода для вектора :
, (7)
а задача (1) - (2) - уравнению для вектора :
(8)
с вполне непрерывным оператором в . Предположим, что задача (1) - (2) при f=0 имеет лишь тривиальное решение. Из этого условия следует, что существует функция Грина задачи (1), (2). Предположим еще, что уравнение с краевыми условиями (2) также имеет функцию Грина . Введем обозначения: . В силу (4) , где - пространство Соболева. Тогда имеют место следующие утверждения о сходимости к в , a также к в нормах пространства при .
Теорема 1. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1) -непрерывные функции и Х₀ – решение уравнения (8) (существование Х₀ следует из однозначной разрешимости задачи (1) - (2)). Тогда при достаточно больших (т.е. больших для всех j) уравнение (7) имеет единственное решение и справедлива оценка
, (9)
где - отрезок ряда Фурье по полиномам Чебышева функции длины , т.е. ,
,
, ,
- постоянная, зависящая от нормы обратного оператора - единичный оператор.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда функция стремится к точному решению задачи (1) - (2) по норме пространства :

и справедлива оценка
,
где

Теорема 3. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1) принадлежат классу , тогда справедливо утверждение теоремы 1, причем оценка (9) имеет вид
;
здесь




для любого j, константа определяется из условия Гельдера, т.е.

Теорема 4. Если коэффициенты и правая часть уравнения (1) есть функции из класса , то функция стремится к точному решению u₀(y) задачи (1) - (2) по норме и справедлива оценка

где
В третьем параграфе рассмотрена задача на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения
(10)
с граничными условиями (2).
Исследование математических моделей сложных гидродинамических систем связано с решением проблемы на собственные значения вида (10), (2). Эффективное нахождение всех собственных значений проблемы устойчивости имеет весьма важное значение, поскольку, анализируя собственные значения, можно судить об устойчивости или неустойчивости гидродинамических потоков. При исследовании вопросов сходимости приближенных собственных значений, полученных с помощью ССМ, к точным собственным значениям задачи (10), (2) существенно используются результаты второго параграфа. Не повторяя изложенных выше рассуждений, дифференциальную задачу (10), (2) приводим к операторному уравнению, аналогичному (8):
(11)
a также соответствующую приближенную задачу – к уравнению, аналогичному (7):
; (12)
здесь Т и - вполне непрерывные операторы.
Далее доказывается сходимость приближенных собственных значений к точным собственным значениям и в заключении параграфа 3 доказана следующая теорема о скорости сходимости.
Теорема 5. Пусть коэффициенты уравнения (10) из класса и при , где - собственные значения задач (12), (11) соответственно. Пусть, далее, имеет ранг r. Тогда справедливо неравенство
, .