Министерство высшего и средного специального образования республики узбекистан

1. Общая характеристика диссертации


Актуальность темы. Численные методы все более широко применяются для исследования математических моделей гидродинамических систем. В то же время их применение к решению основных уравнений - уравнений Навье-Стокса - при больших числах Рейнольдса наталкивается на серьезные трудности. Они связаны, главным образом, с наличием малого параметра при старшей производной и, как следствие, появлением в решении областей сильной пространственной неоднородности. В связи с этим требования, предъявляемые к аппроксимационным свойствам численных методов, резко возрастают. Проблема устойчивости однофазных гидродинамических систем сводится к задаче на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при старшей производной. Математическому моделированию и построению численных методов решения указанного класса уравнений посвящены работы М.А.Лаврентьева, Б.В.Шабата, Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшица, А.Н.Тихонова, Н.Н.Яненко, Н.С.Бахвалова, С.К.Годунова, О.А.Ладыженской, Н.А.Желтухина, А.Л.Крылова, Б.Л.Рождественского, В.Я.Левченко, А.С.Соловьева, М.А.Гольдштика, В.А.Сапожникова, Б.П.Колобова, А.Г.Слепцова, S.A.Orszag, H.Salwen, C.E.Grosch, D.Gottlieb, E.Turkel, A.T.Patera, T.J.Bridjes, H.G.Ku, A.Zebib и др.
Степень изученности проблемы. Существующие методы для моделирования проблемы устойчивости гидродинамических систем позволяют с хорошей точностью рассчитывать отдельные собственные значения проблемы устойчивости и получить решение в областях неоднородности. Однако при моделировании спектра собственных значений их эффективность оказывается недостаточной. В более сложных многопараметрических проблемах гидродинамической устойчивости (например, при математическом моделировании устойчивости двухфазных потоков) положение усугубляется – снижение эффективности становится практически неприемлемым. Исследование динамики гетерогенных (многофазных) смесей или, в частности, газовзвесей (смесей газов с твердыми частицами) - одно из важных направлений при математическом моделировании сложных гидродинамических систем. Частицы в этом случае называют дисперсными частицами или дисперсной фазой, а окружающую несущую фазу (газ) - дисперсионной фазой. В настоящее время значительное число работ посвящено проблемам построения математических моделей гидромеханики многофазных сред. Это работы Х.А.Рахматулина, Р.И.Нигматулина, Н.Н.Яненко, А.Н.Коновалова, В.М.Фомина, Р.Бусройда, С.Соу, Б.П.Стулова, А.Н.Крайко, А.С.Соловьева, А.Н.Осипцова, Д.Ф.Файзуллаева, Ф.Б.Абуталиева, А.И.Умарова, Б.Х.Хужаярова, Р.Садуллаева, P.G.Saffman, D.A.Drew, S.I.Pai, H.B.Stewart, V.H.Ransom и др.
Гидродинамическая устойчивость двухфазных потоков сводится к проблеме собственных значений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.
Математическое моделирование проблемы устойчивости для двухфазных потоков наталкивается, однако, на определенные трудности. Во- первых, уравнения устойчивости содержат малый параметр при старшей производной, поэтому возникают значительные трудности для получения решений с заданной степенью точности. Во-вторых, задача становится многопараметрической и построение параметрических зависимостей приводит к резкому увеличению объема вычислений. В-третьих, с ростом числа уравнений (каждая фаза имеет уравнения движения) порядок алгебраической системы квадратично возрастает, что при численном нахождении собственных значений сильно уменьшает эффективность расчетов.
Изучение математических моделей гетерогенных систем актуально, прежде всего, с точки зрения приложений. Исследование влияния взвешенных частиц на гидродинамическую устойчивость потоков требует, во-первых, тщательного анализа самих математических моделей многофазных систем и, во-вторых, разработки эффективного и надежного математического аппарата для моделирования гидродинамических уравнений устойчивости.
Поэтому разработка и исследование численного метода, который при заданной точности обеспечивал бы высокую эффективность расчета большого числа собственных значений проблемы устойчивости в широком диапазоне изменения характерных параметров, - актуальное направление в области математического моделирования. Спектрально-сеточный метод - один из методов, удовлетворяющий указанным требованиям.
При теоретическом обосновании спектрально-сеточного метода используются теоремы о сходимости проекционных и проекционно-сеточных методов. Общая и спектральная теории для операторных уравнений изложены в работах Г.И.Марчука, А.А.Самарского, М.А.Красносельского, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, Я.Б.Рутицского, В.Я.Стеценко, Т.Д.Джураева, Ш.А.Алимова, А.Г.Слепцова, В.И.Крылова, С.Пашковского и др.