Министерство высшего и средного специального образования республики узбекистан

(47)
.
Таким образом, для определения неизвестных имеем уравнений. Этими уравнениями будут: - уравнений ортогональности (45), (46), - условий (17) и - условий вида (47).
Полученную систему линейных алгебраических уравнений (45), (17), (46), (47) записываем в матричном виде:
(48)
здесь комплексные матрицы и имеют блочно-трехдиагональную структуру специального вида. Компонентами вектора х являются следующие коэффициенты:

В этом случае матрица содержит -нулевых строк, соответствующих условиям (17), (47).
В пятом параграфе построено алгебраическое преобразование для матричных уравнений устойчивости (48). С помощью элементарных преобразований столбцов матриц и систему (48) приводим к виду
(49)
где - соответствующее невырожденное преобразование. При таком преобразовании Q-нулевые строки матрицы не меняются и уравнений в системе (49) становятся автономными, так как соответствующие им компоненты собственных векторов будут равны нулю. Из системы (49) можно исключить строк и столбцов. Из оставшихся уравнений получаем алгебраическую систему
(50)
где - в общем случае невырожденная квадратная матрица.
Размерность матриц и в системе (50) равна , где Отношение общего числа уравнений к числу оставшихся уравнений составляет . Таким образом, в результате разбиения интервала интегрирования на элементы размерности каждых комплексных матриц и в алгебраической системе (48) уменьшаются в раз.

Умножая систему (50) слева на матрицу , получаем

. (51)
Собственные значения системы (51) определялись с помощью - алгоритма, один шаг QR - алгоритма требует Z арифметических операций. Сравнение СМ и ССМ по числу арифметических операций приведено в табл. 5.
Из таблицы видно, что с увеличением общего количества полиномов ССМ становится более эффективным. Данный результат более наглядно выражен на рис. 2.
Таблица 5

	СМ	ССМ
	Z	N	Z
5	426	1	426
10	18293	2	3413
20	262026	4	27306
30	1049760	6	92160
40	2701493	8	365813
50	5537227	10	937386
60	9876960	12	1916640

Кривая 1 – ССМ; кривая 2 – СМ
Рис. 2

В шестом параграфе приведены анализ и интерпретация результатов численных расчетов по математическому моделированию уравнений устойчивости для двухфазных потоков Пуазейля и пограничного слоя.

Граничные условия для возмущений в потоке Пуазейля имеют вид
(52)
(53)
Данные табл. 6 показывают точность расчета первой неустойчивой моды плоского течения Пуазейля со взвешенными частицами при различных числах базисных функций. Параметры фиксированы и , , . В табл. 6 приведены значения при малых значениях времени релаксации частиц , т.е. при .

Таблица 6

М + 1
6	0,884	0,012
10	0,325	0,039
15	0,22221	0,00681
23	0,2226709	0,0068574
26	0,2226707330	0,0068672973
32	0,2226707431	0,0068672974

Видно, что с увеличением число верных знаков в быстро растет. Аналогичный эффект наблюдается и при больших значениях .

Рассмотрено течение в пограничном слое в присутствии взвешенных частиц. Безразмерные параметры для уравнений устойчивости (39) определяются следующим образом:


.
Здесь а - радиус частиц, R₂ - число Рейнольдса по радиусу частиц, , - плотность чистого газа и материала частиц, , - время релаксации частиц, , f - объемная и массовая концентрации частиц.
Граничные условия имеют вид


при
при .

Для чистого газа - это требования прилипания и непроницаемости, а для твердых частиц - только условие непроницаемости. Вдали от стенки возмущения должны затухать.

В табл. 7 приведены результаты расчетов первой неустойчивой моды при . Данные табл. 7 рассчитаны при общем числе полиномов .
Таблица 7

	21	13	7	5	0,364985	- 0,019944
	21	15	5	5	0,363989	- 0,019144
46	23	13	5	5	0,364336	- 0,019063
	25	11	5	5	0,364357	- 0,019095
	27	9	5	5	0,364289	- 0,019124

Согласно данным табл. 7, с увеличением числа полиномов на элементах сетки, примыкающих к стенке, число верных знаков в растет, при этом размерность решаемой задачи существенно уменьшается.