Министерство высшего и средного специального образования республики узбекистан

3. Заключение

Основные результаты по моделированию и исследованию устойчивости для однофазных и многофазных гидродинамических систем сводятся к следующим основным выводам:

1. Разработан и обоснован новый эффективный спектрально-сеточный метод для исследования математических моделей гидродинамических систем.
2. Доказана сходимость спектрально-сеточного метода и приближенных собственных значений гидродинамической устойчивости к точным, получены оценки скорости сходимости.
3. Разработан специальный алгоритм, позволяющий с помощью невырожденных линейных преобразований свести алгебраическую задачу на собственные значения, возникающую при аппроксимации спектрально- сеточным методом, к задаче существенно меньшей размерности.
4. Спектрально-сеточный метод применен для математического моделирования классических проблем устойчивости, описываемых дифференциальным уравнением четвертого порядка с малым параметром при старшей производной: проблема устойчивости однофазных потоков Пуазейля и пограничного слоя. Показано, что спектрально-сеточный метод сочетает высокую точность, характерную для спектральных методов, с экономичностью метода неравномерных сеток.
5. Спектрально-сеточный метод обобщен также для адекватного математического моделирования сложных гидродинамических систем, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.
6. Сравнены спектрально-сеточный метод и спектральный метод по числу арифметических операций при математическом моделировании гидродинамических систем для однофазных и двухфазных потоков. Показаны высокая точность и эффективность спектрально-сеточного метода.
7. Проведены исследование и анализ спектра собственных значений гидродинамических проблем с применением современной технологии математического моделирования, основанной на спектрально-сеточной аппроксимации. Показано, что частицы имеют наиболее сильное влияние на первое собственное значение.
8. Показано, что спектрально-сеточный метод является новым надежным математическим аппаратом, обеспечивающим вычисление всех гидродинамических характеристик потоков с гарантированной точностью.
9. Спектрально-сеточный метод применен для математического моделирования и исследования пространственной зависимости характерных параметров гидродинамических систем: времени релаксации частиц, числа Рейнольдса и волнового числа при различных значениях массовой концентрации частиц.
10. Проведенное комплексное исследование гидродинамических проблем с применением спектрально-сеточного метода показывает, что в проблеме устойчивости течения Пуазейля, при малых значениях времени релаксации частиц, поток дестабилизируется, а с его увеличением становится устойчивым. Обнаружено, что существует определенный интервал по времени релаксации, когда поток наиболее устойчив. Для проблемы устойчивости пограничного слоя на пластине показано, что при отрицательных градиентах давления частицы оказывают в целом стабилизирующий эффект, сходный с эффектом в течении Пуазейля, а при возрастании градиента давления влияние частиц на устойчивость уменьшается.
11. Разработан комплекс программ вычислительного эксперимента для исследования математических моделей гидродинамической устойчивости при спектрально-сеточной аппроксимации.