Министерство высшего и средного специального образования республики узбекистан

В третьей главе ССМ обобщен для исследования и анализа математических моделей сложных гидродинамических систем.
В первом параграфе на основе закона подобия Рейнольдса математические модели для двухфазных потоков приведены к безразмерному виду.
Во втором параграфе исследуется и анализируется адекватность математических моделей для многофазных потоков. За основу выбрана полная система уравнений гидромеханики многофазных сред, предложенная в работах Х.А.Рахматулина, Р.И.Нигматулина и D.A.Drew:
(35)
(36)
(37)
(38)
,
.

Здесь - векторы скорости для чистого газа и частиц; - давление газа; - объемная концентрация частиц; - плотность чистого газа; - плотность материала частиц; - вязкость чистого газа; - радиус частиц; - время; - отношение плотностей; -время релаксации частиц; - число Рейнольдса; - параметр, характеризующий размер частиц; - продольные и поперечные координаты соответственно; и - единичные векторы по направлениям и . Уравнения (35) – (38) записаны в безразмерном виде относительно характерной скорости основного потока , характерных длины и масштаба времени .

В третьем параграфе дается вывод уравнений устойчивости для двухфазных течений, определяются характерные параметры задачи. Система уравнений устойчивости двухфазных потоков, полученная из полных уравнений (35) - (38), имеет вид
(39)
Система уравнений (39) рассматривается при следующих краевых условиях:
при
при (40)
Для чистого газа - это требования непроницаемости и прилипания, а для твердых частиц - только условие непроницаемости. Задача характеризуется четырьмя параметрами: , здесь массовая концентрация частиц, время релаксации частиц, амплитуды функции тока для возмущений чистого газа и частиц соответственно.
В четвертом параграфе построен алгоритм ССМ для моделирования уравнений устойчивости (39)-(40). Интервал интегрирования разобьем на сетку. Краевые условия (40) записываются в точках , , а требования непрерывности решения уравнений (39) и его производных имеют вид, как в (17), и
(41)
где р указывает порядок производной.
Каждый элемент сетки отображаем на интервал [-1,1] с помощью следующей замены независимой переменной:
;
здесь через обозначена длина j - го элемента сетки.
Уравнения (39) после применения этого преобразования имеют вид
(42)
, (43)

где
,

,
.
Приближенное решение задачи (42), (43) с краевыми условиями и условиями непрерывности на каждом из элементов сетки ищем в виде следующих рядов:
. (44)
Подставляя ряды (44) в (42), (43), потребуем, чтобы левая часть уравнения (42) на каждом из элементов сетки была ортогональна к первым ( )-м и, аналогично, левая часть уравнения (43) к первым ( )-м полиномам Чебышева, т.е.
(45)
, (46)
где - скалярное произведение на отрезке [-1,1]. Условия (41) с использованием (44) записываются в виде