Министерство высшего и средного специального образования республики узбекистан
Download 1.78 Mb.
|
Афтореферат mm
|
Вторая глава посвящена применению ССМ к исследованию математических моделей проблемы устойчивости однофазных течений Пуазейля и пограничного слоя, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка с малым параметром при старшей производной.
В первом параграфе изложена общая постановка проблемы гидродинамической устойчивости. Во втором параграфе дана постановка проблемы гидродинамической устойчивости. Движения вязкой несжимаемой жидкости описываются уравнением Навье-Стокса: , , (13) , где - продольная и поперечная компоненты скорости, p - давление, Rе= - числа Рейнольдса, - плотность, - вязкость жидкости, и - характерные масштабы скорости и длины соответственно. Для исследования устойчивости решения системы (13) представим, как обычно, в виде суперпозиции основного ламинарного течения и малого возмущения: (14) Систему (13) записываем с учетом (14) и, оставляя в полученных уравнениях только члены первого порядка малости по возмущениям, имеем (15) , Если учитывать, что основное течение само по себе удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса, т.е. то система (15) принимает вид (16) . (17) Вводим функцию тока для возмущающего движения в виде , (18) где - комплексная амплитуда возмущений, k - вещественная величина, связанная с длиной волны возмущения соотношением . Величина - комплексная, , где - круговая частота отдельного колебания, а - коэффициент нарастания, т.е. величина, позволяющая судить, нарастает или затухает колебание. Если , то колебание затухает и ламинарное течение устойчиво, если же , то имеет место неустойчивость. Кроме величин k и целесообразно ввести также их отношение . Величина представляет собой скорость распространения волн в направлении x (фазовая скорость), а опять является величиной, позволяющей судить о затухании или возрастании колебания. Амплитуда возмущающего движения принята зависящей только от переменной потому, что основное течение также зависит только от . Для функции тока (18) имеем , , тем самым интегрируется уравнение неразрывности (17), а из системы (16) получаем проблему на собственные значения для уравнения Орра – Зоммерфельда: , (19) (20) с однородными краевыми условиями, которые означают требования непроницаемости и прилипания. Здесь - дифференциальный оператор, U( ) - профиль скорости основного течения, - координата, направленная поперек основного течения, - волновое число, - число Рейнольдса, амплитуды функции тока для возмущений, - собственные значения задачи, где - фазовая скорость волнового возмущения, - коэффициент нарастания. Если >0, то течение неустойчиво, если <0, то оно устойчиво. Если же =0, то колебания нейтрально устойчивы. В третьем параграфе рассмотрено применение ССМ для моделирования уравнения устойчивости однофазных гидродинамических систем, описываемых проблемой на собственные значения (19) - (20). Интервал интегрирования разобьем на сетку и получим различных элементов: . Дифференциальное уравнение (19) на каждом из этих элементов принимает вид . (21) Краевые условия (20) записываются в точках и : . (22) Во внутренних узлах сетки потребуем непрерывность решения уравнения (21) и его производных до 3 -го порядка: , (23) где указывает порядок производной. Для представления решения уравнений (21) - (23) в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода каждый элемент отображаем на интервал . После этого преобразования уравнения (21) принимают вид (24) где . Из условий (22) - (23) имеем , , , (25) через обозначена длина -го элемента сетки. Приближенное решение задачи (24) - (25) на каждом из элементов сетки ищем в виде , , (26) где - полиномы Чебышева первого рода, - их узлы, а pj - количество полиномов, используемых для аппроксимации решения на -м элементе. Подставляя ряды (26) в уравнение (24), потребуем, чтобы левая часть (24) на каждом из элементов сетки была ортогональной к первым (pj-4)-м полиномам Чебышева: (27) где - скалярное произведение на отрезке . Кроме того, еще потребуем, чтобы ряд по полиномам Чебышева (26) точно удовлетворял краевым условиям и условиям непрерывности (25). С учетом следующих свойств полиномов Чебышева и эти условия записываются в виде: , , (28) Таким образом, для определения = неизвестных аn(j) ( ; ) имеем = уравнений. Этими уравнениями служат уравнений ортогональности (27), условий непрерывности и четыре граничных условия из (28) . Полученную систему удобно записать в матричном виде: (А - λВ)Х=0 , (29) где комплексные матрицы и имеют блочно-диагональную структуру специального вида, a вектор х содержит коэффициенты аn(j) в разложении (26), т.е. . Характерная особенность системы (29) в том, что матрица вырождена (поскольку условия (28) не зависят от λ) и содержит нулевых строк, где - число элементов сетки. Построение алгебраического преобразования для матричных уравнений устойчивости (29) изложено в четвертом параграфе. Данная система с помощью невырожденного линейного преобразования Q сводится к виду (30) При таком преобразовании Q нулевые строки матрицы не меняются, а не нулевые строки преобразуются согласно Q. В таком случае уравнений, соответствующих краевым условиям и условиям непрерывности в системе (30), становятся автономными. Тогда из рассмотрения можно исключить первые четыре столбца из каждого блока матрицы, так как соответствующие им компоненты собственных векторов, очевидно, будут равны нулю. Из оставшихся уравнений получается алгебраическая система существенно меньшей размерности: , (31) где - в общем случае невырожденная квадратная матрица. Умножая (31) слева на матрицу , получаем . (32) Собственные значения системы (32) могут быть найдены стандартными методами. В данной работе они определяются с помощью -алгоритма. Обоснование эффективности ССМ изложено в пятом параграфе. Размерность матриц и в системе (31) равна , где . Отношение чисел и равно q = , т.е. в результате применения преобразования размерность каждой из комплексных матриц и уменьшается в q2 раз. Например, если на каждом элементе выбрано по пять полиномов, то = , а q = 5. Это означает, что размерность комплексных матриц и уменьшается в 25 раз. Для решения системы вида (32) один шаг -алгоритма требует арифметических операций. В табл. 1 сравнены спектральный метод (СМ)1 и ССМ по числу арифметических операций . Видно, что с ростом эффективность ССМ становится сильно заметна. Результаты табл.1 более наглядно иллюстрируются на рис.1. Таблица 1
Кривая 1 – ССМ, кривая 2 – СМ Рис.1 Другое достоинство ССМ заключается в блочно-диагональной разреженной структуре матриц уравнений (29) и (31), в отличие от обычного СМ, где эти матрицы являются заполненными. Это позволяет при нахождении собственных значений системы (32) использовать эффективные алгоритмы для ленточных разреженных матриц. В шестом параграфе проделан анализ и приведена интерпретация результатов вычислительных экспериментов по устойчивости однофазных потоков Пуазейля и пограничного слоя. Обсуждается выбор оптимальных и (число полиномов и количество элементов сетки) при расчете собственных значений. При этом используются результаты асимптотического анализа, дающие предварительную информацию о поведении градиентов решения. В случае течения Пуазейля в плоском канале граничные условия имеют вид , . (33) Данные, приведенные в табл.2, иллюстрируют точность расчета первой неустойчивой моды (гармоники с наибольшей мнимой частью). Здесь же приведены известные результаты Орзага1 ( через обозначено количество четных полиномов Чебышева). Видно, что число верных знаков λ быстро растет с ростом и при все цифры в мантиссе совпадают с точным значением λ. Теперь рассмотрим пограничный слой на полубесконечной плоской пластине. В этом случае уравнение (19) имеют следующие краевые условия: ψ(η)= =0 при η =0 , ψ(η) , при η → . (34) Таблица 2
Основное течение в пограничном слое определяется как первая производная от решения уравнения Фокнера-Скэна2. Асимптотический анализ показывает, что в отличие от задачи устойчивости течения Пуазейля для данной задачи число узлов сетки (а, следовательно, и число полиномов) вблизи твердой границы должно быть значительно больше, чем вдали от нее. Таблицы иллюстрируют точность расчетов первой наиболее неустойчивой моды пограничного слоя на плоской пластине для различного числа элементов . Общее количество полиномов . Значения параметров фиксированы. Для сравнения в качестве эталона используются данные работы Гроша и Орзага3. В табл. 3 приведены результаты расчетов при , т.е. случай, когда весь интервал интегрирования рассматривается как один элемент. Таблица 3
Собственное значение при найдено с точностью 10-3. Комплексные матрицы и в этом случае являются заполненными и имеют размерность ~46*46. В табл. 4 приведены результаты, полученные ССМ для . Выбраны элементы с одинаковой длиной. Число полиномов на элементах обозначено через , причем , а - число полиномов на элементе, примыкающем к стенке. Видно, что оптимальное распределение полиномов на элементах соответствует третьей серии расчетов, приведенных в табл. 4. Но и при других значениях параметров , данных в таблице, заданная точность расчетов 10-3 снижается незначительно. Таким образом, высокая точность СМ устойчиво сохраняется при применении ССМ. В то же время комплексные матрицы и приобретают блочно-диагональную структуру, и их размерность уменьшается до величины 30х30. Видно, что даже при небольшом числе элементов размерность каждой из комплексных матриц , снижается более чем в два раза (q2= 2,25) . Таблица 4
Download 1.78 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||