Mirzo ulug‘bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti jizzax filiali

2⁰. Garmonikalar. Ushbu
(3)
funksiyani qaraylik, bunda – haqiqiy sonlar. Bu davriy funksiya bo`lib, uning davri

ga teng bo`ladi.
◄ Haqiqatan ham,
.►
Odatda, (3) funksiya garmonika deyiladi. Garmonikaning grafigi funksiya grafigini va o`qlar bo`yicha siqish (cho`zish) hamda o`qi bo`yicha surish natijasida hosil bo`ladi.
Garmonikani quyidagicha ham yozish mumkin:

bunda
.
Aksincha,

funksiya garmonikani ifodalaydi:

bunda,



3⁰. Fur’e qatorining ta`rifi. [4, 18.2.1., p.526] Har bir hadi

garmonikadan iborat ushbu
(4)
funktsional qator trigonometrik qator deyiladi. Bunda

sonlar trigonometrik qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Odatda, (4) trigonometrik qatorning qismiy yig`indisi

trigonometrik ko`phad deyiladi.
Aytaylik, funksiya da berilgan bo`lib, u shu oraliqda integrallanuvchi bo`lsin.
Ravshanki,

funksiyalar ham integrallanuvchi bo`ladi. Yuqorida keltirilgan funksiyalarning integrallarini quyidagicha belgilaymiz:


(5)
So`ng ushbu
(6)
trigonometrik qatorni tuzamiz.
Ravshanki, (6) trigonometrik qator (5) munosabatlardan topiladigan

sonlar bilan to`la aniqlanadi.
1-ta`rif. [4, Definition 1, p.528.] Koeffitsientlari (5) munosabatlar bilan aniqlangan (6) trigonometrik qator funksiyaning Fur’e qatori deyiladi. Bunda

sonlar funksiyaning Fur’e koeffitsientlari deyiladi.
Demak, funksiyaning Fur’e qatori shunday trigonometrik qatorki, uning koeffitsientlari (5) formulalar yordamida aniqlanadi. SHuni e`tiborga olib, funksiyaning Fur’e qatori quyidagicha yoziladi:
.
1-misol. Ushbu

funksiyaning Fur’e qatori topilsin.
◄ (5) formulalardan foydalanib, berilgan funksiya-ning Fur’e koeffitsientlarini hisoblaymiz:

Demak,

funksiyaning Fur’e qatori

bo`ladi.►
Aytaylik, ushbu shartlar bajarilsin:
1) quyidagi
(7)
trigonometrik qator da yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ga teng:
, (8)
2) (8) ni hamda uni va larga ko`paytirishdan hosil bo`lgan

qatorlar da hadlab integrallansin. U holda

sonlar funksiyaning Fur’e koeffitsientlari bo`ladi, (7) trigonometrik qator esa funksiyaning Fur’e qatori bo`ladi.
Bu tasdiqning isboti quyidagi

integrallarni hisoblashdan kelib chiqadi.