On aǵzalı qatarlardıń jiyindısı

On aǵzalı qatarlardıń jiyindısı
Joba :
1. Sanlı qatarlar
2. Funktsional qatarlar
1. Sanlı qatar túsinigi
a1 + a2 +... + an +... = (1)
ańlatpaǵa sanlı qatar dep ataladı. Bul jerde a1, a2,.. ., an,... haqıyqıy sanlar bolıp, qatardıń hadlari, an - had qatardıń n - hadi yamasa ulıwma hadi dep ataladı. Hár bir (1) sanlı qatar ushın
Sn = a1 + a2 +... + an, n = 1, 2, 3,... bólegiy jıyındılar Sn qurıw múmkin.
Mısal. Bul
Sanlı Katar ushın bo'legiy jıyındılar :


Boladı.
Eger (1) qatardıń bólegiy jıyındıları izbe-izligi chekli limit S ga iye bolsa, bul sanǵa qatardıń jıyındısı dep ataladı :
(2)
Eger (2) chekli limitga iye bolsa, qatar jaqınlashuvchi, S - onıń jıyındısı dep ataladı.
Mısal. Joqarıda keltirilgen mısal ushın :

Sonday eken, berilgen sanlı qatar chekli limitga iye eken. Qatar jaqınlashuvchi.
Eger bolsa yamasa ámeldegi bolmasa, qatar uzoqlashuvchi dep ataladı.
r_n = S - S_n Sanǵa qatardıń qaldıg'i dep ataladı. Jaqınlashuvchi sanlı qatar ushın boladı hám sonday eken jetkiliklishe úlken n lar ushın S Sn orınlı boladı.
Mısallar :
1) Bul geometriyalıq progressiyaning hadlaridan dúzilgen Sanlı qatar bolsa jaqınlashuvchi, jıyındısı bo`ladi, bo`lsa, Uzoqlashuvchi bolıp tabıladı;
2)  Sanlı qatar garmonik qatar dep ataladı hám ol uzoqlashuvchi qatar bolıp tabıladı.
3) Ulıwmalasqan garmonik qatar dep,

Sanlı qatarǵa aytıladı jáne bul sanlı qatar p  1 de uzoqlashuvchi, p > 1 de jaqınlashuvchi bolıp tabıladı.
2. Jaqınlashuvchi sanlı qatarlardıń tiykarǵı ózgeshelikleri
Jaqınlashuvchi sanlı qatarlardıń tómendegi tiykarǵı ózgesheliklerin keltiremiz:
10. Eger qatar jaqınlashuvchi bolsa, ol halda qálegen chekli sanlar daǵı hadlarni tastap jiberiw yamasa oǵan chekli sandaǵı hadlarni qosıw nátiyjesinde payda bolǵan qatar da jaqınlashuvchi boladı.
20. Jaqınlashuvchi sanlı qatardıń hár bir hadi, birdey sanına kópaytirilsa, ol halda jıyındı sanına kóbeytiriledi; yaǵnıy

3⁰. Agar va Qatarlar jaqınlashuvchi bolıp, jıyındıları uyqas túrde A hám B ga teń bolsa, ol halda Sanlı jıyındısı da jaqınlashuvchi bolıp, jıyındısı A B ga teń.
40. (Jaqınlashuvchanlikning zárúrli belgii)

1. 
   Eger sanlı qatar jaqınlashuvchi bolsa, onıń ulıwma hadi ushın shárt atqarıladı. Lekin bul belgi jetkilikli belgi bola almaydı.
   
2. 
   Eger bolsa, ol halda berilgen sanlı qatar uzoqla-shuvchi boladı.
   
3. 
   Mısallar.
   
4. 
   4) ushbu sanlı qatar uzoqlashuvchi bolıp tabıladı, sebebi
   
5. 
   
   

2) quyidagi

Sanlı qatar uzoqlashuvchi qatar boladı, sebebi

Joq.
3. Oń hadli sanlı qatarlar jaqınlasıwınıń belgileri
Oń hadli sanlı qatarlar ushın tómendegi jaqınlasıw hám alıslaw belgilerin keltiremiz.

1. 
   Salıstırıwlaw belgii. Oń hadli eki
   
2. 
   a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = (3)
   

b₁ + b₂ + ... + b_n + ... = (4)

Sanlı qatar ushın, qandayda bir N nomerden baslap an bn teńsizlik atqarılsa, ol halda :
a) (4) qatardıń jaqınlasıwınan (3) qatardıń da jaqınlasıwı ;
(3) qatardıń alıslasıwınan (4) qatardıń da alıslasıwı kelip shıǵadı.
b) (3) hám (4) sanlı qatarlardıń ulıwma hadlari Ushın ámeldegi hám 0 < k < + bolsa, ol halda (3) hám (4) sanlı qatarlar bir waqıtta yamasa jaqınlashuvchi yamasa uzoqlashuvchi boladı.
Mısal. qatardı jaqınlasıwǵa tekseriń.
Sheshiw. Berilgen qatardı uzoqlashuvchi garmonik qatar bilan Salıstırıwlaymız. Onıń ushın va k Ekenligin tabamız. Bunnan berilgen qatar uzoqlashuvchiligi kelip shıǵadı.
2) Koshi belgii. Eger oń hadli (3) qatar ushın
Ámeldegi bolsa, bul qatar k < 1 bolǵanda jaqınlasadı, k > 1 de bolsa uzoqlashadi, k = 1 de qatardıń jaqınlasıw máselesi ashıq qaladı.
Mısal. Bul sanlı qatardı Koshi belgii járdeminde jaqınlasıwǵa tekseriń.
Sheshiw. Koshi belgiine kóre,

Sonday eken, k < 1 bolǵanı ushın berilgen qatar jaqınlashuvchi boladı.
3) Dalamber belgii. Eger oń hadli (3) qatar ushın
Ámeldegi bolsa, ol halda bul qatar : d < 1 de jaqınlasadı, d > 1 de uzoqlashadi hám d = 1 de qatardıń jaqınlasıw máselesi ashıq qaladı.
Mısal. Bul sanlı qatardı jaqınlasıwǵa tekseriń.
Sheshiw. Dalamber belgiine kóre,

Bolǵanı ushın berilgen sanlı qatar jaqınlashuvchi boladı.

3. 
   Kafeliń integral belgii. Eger (3) sanlı qatardıń hadlari oń hám o'smaydigan bolıp, x 1 bolǵanda anıqlanǵan, úzliksiz, oń hám o'smaydigan funksiya ushın teńlikler orınlı bolsa, ol halda
   
4. 
   
   

1- Tur xosmas integral jaqınlashsa, berilgen qatar da jaqınlasadı, xosmas integral uzoqlashsa, sanlı qatar da uzoqlashadi.
Ulıwmalasqan garmonik qatar bul belgi járdeminde tekseriledi.
Mısal. Bul sanlı qatardı jaqınlasıwǵa tekseriń.

Sheshiw. Sanlı qatar jaqınlashuvchi boladı, sebebi funksiya bolǵanda oń, úzliksiz hám o'smaydi hám de onıń ushın tómendegi 1- tur xosmas integral

Boladı.
4. Sanlı qatarlardıń absolut hám shártli jaqınlasıwı
Ózgeriwshi belgili sanlı qatar
u₁ + u₂ + ... + u_n + ... (5)

Berilgen bolsın. (5) sanlı qatar hadlarining absolut mánislerinen jańa sanlı qatar (6)

tuzamiz.
Eger (6 ) qatar jaqınlashuvchi bolsa, ol halda (5) sanlı qatar absolut jaqınlashuvchi qatar dep ataladı.
Eger (6 ) qatar uzoqlashuvchi bolıp, (5) qatardıń ózi jaqınlashuvchi bolsa, ol halda (5) sanlı qatar shártli jaqınlashuvchi qatar dep ataladı. Absolut jaqınlashuvchi sanlı qatar hámme waqıt jaqınlashuvchi boladı.
Bul c₁ - c₂ + c₃ - c₄ + ... (-1)^n-1c_n + ... (7)

1. 
   Sanlı qatarǵa belgileri almasinuvi qatar dep ataladı. Bunday qatarlardı tekseriw ushın Leybnis teoremasidan paydalanıladı.
   
2. 
   Leybnis teoremasi. Eger belgileri almasinuvchi (7) qatardıń hadlari ushın :c₁ > c₂ > c₃ > ...
   
3. 
   
   

Orınlı bolsa, berilgen sanlı qatar jaqınlashuvchi boladı jáne onıń jıyındısı oń bolıp, birinshi haddan úlken bolmaydı.
Belgisi almasinuvchi qatar qaldıǵı teńsizlik menen bahalanadı.
Mısal. Bul

Sanlı qatardıń jaqınlashuvchanligini tekseriń.

Sheshiw. Leybnis teoremasi shártleriniń joqarıda berilgen belgisi almasinuvchi qatar ushın orınlanıwın kóremiz, yaǵnıy

va ^.

Sonday eken, qatar jaqınlashuvchi bo'lar eken. Absolut hám shártli jaqın -lashuvchi qatarlardıń ózgeshelikleri:
1. Absolut jaqınlashuvchi qatarda orınlarındı almastırıwdan dúzilgen jańa qatar da jaqınlashuvchi boladı hám jıyındısı berilgen qatar jıyındısı menen birdey boladı.
2. Shártli jaqınlashuvchi qatarda, b sanı qálegen san bolıwdan qaramastan, hadlar ornın sonday almastırıw múmkin, nátiyjede olin-gan jańa sanlı qatar jıyındısı b ga teń boladı.
3. Shártli jaqınlashuvchi sanlı qatarda hadlar ornın sonday almastırıw múmkin, nátiyjede uzoqlashuvchi jańa qatar alınadı.