Многочлен

2. Связанные определения

• 
  Многочлен называется унитарным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице.
  
• 
  Многочлен вида называется одночленом или мономом
  
  • 
    Одночлен, соответствующий мультииндексу называется свободным членом.
    
• 
  В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
  
• 
  В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
  
• 
  Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число .
  
  • 
    Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
    
• 
  Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты c_I ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка - многогранником Ньютона.
  

3. Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен x⁴ − 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.