Многочлен

4. Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию

.

Чаще всего рассматривают случай A = R.
В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции .

5. Свойства

• 
  Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
  
• 
  Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
  
• 
  Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
  
  • 
    Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
    

6. Вариации и обобщения

• 
  Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
  
• 
  Квазимногочлен
  
• 
  Тригонометрический многочлен
  

Литература

• 
  Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  
• 
  Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
  
• 
  В. В. Прасолов Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
  
• 
  Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.